Søket gav 160 treff
- 23/07-2009 15:34
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Ulikhet
- Svar: 7
- Visninger: 4167
Vet at denne tråden er litt gammel, men syntes det var noen fine ulikheter her. 1) La a,b,c være positive reelle tall så abc=1. Vis at \frac{ab}{a^5+b^5+ab} + \frac{bc}{b^5+c^5+bc} + \frac{ca}{c^5+a^5+ca} \leq 1 \sum \frac {ab}{a^5+b^5+ab} \leq \sum \frac {ab}{a^4b+ab^4+ab}=\sum \frac {1}{a^3+b^3+1}...
- 29/06-2009 00:52
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: cosinus-ulikhet
- Svar: 2
- Visninger: 1808
cosinus-ulikhet
La [tex]\alpha[/tex],[tex]\beta[/tex] og [tex]\gamma[/tex] være vinklene i en trekant. Vis at:
[tex]\cos \alpha\cos \beta+\cos \beta\cos \gamma+\cos \gamma \cos \alpha \leq \frac{3}{4}[/tex]
[tex]\cos \alpha\cos \beta+\cos \beta\cos \gamma+\cos \gamma \cos \alpha \leq \frac{3}{4}[/tex]
- 23/06-2009 14:29
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Ulikhet
- Svar: 2
- Visninger: 1323
Av Cauchy-Schwarz har vi: \left( \sum \frac{a}{b+2c+3d} \right)\left( \sum a(b+2c+3d) \right)\geq \left( \sum a \right)^2 \sum a(b+2c+3d)= 4\sum ab \sum \frac{a}{b+2c+3d} \geq \frac{\left( \sum a \right)^2}{4\sum ab}=\frac{\sum a^2+2\sum ab}{4\sum ab}=\frac{\sum a^2}{4\sum ab}+\frac{1}{2} \sum (a-b)...
- 20/06-2009 12:09
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Trigonometri II
- Svar: 1
- Visninger: 1113
Re: Trigonometri II
P=\cos(20^o)\cdot \cos(40^o)\cdot \cos(80^o) \cos(40^o)\cdot \cos(80^o)=\cos(60^o-20^o)\cdot \cos(60^o+20^o)= \left(\cos(60^o)\cos(20^o)+\sin(60^o)\sin(20^o) \right)\left(\cos(60^o)\cos(20^o)-\sin(60^o)\sin(20^o) \right)= \frac{1}{4}\cos^2(20^o)- \frac{3}{4}\sin^2(20^o)=\cos^2(20^o)-\frac{3}{4} P=\...
- 06/04-2009 02:53
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Tall på tavle
- Svar: 14
- Visninger: 5763
- 05/04-2009 13:56
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Tall på tavle
- Svar: 14
- Visninger: 5763
- 04/04-2009 23:08
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Tall på tavle
- Svar: 14
- Visninger: 5763
- 14/03-2009 21:53
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Nordisk Tallteori 94
- Svar: 8
- Visninger: 3533
Synes ikke denne løsningen er særlig pen, menmen, tror den stemmer... n^2+(n+1)^2=k^2\,\,\Rightarrow\, n=2ab \wedge n+1=a^2-b^2\, \vee \,n=a^2-b^2\wedge n+1=2ab (Det er kjent at hvis (n,n+1,k) er en pythagoreisk trippel, så eksistere slike heltall a og b) I) n=2ab \wedge n+1=a^2-b^2 2ab+1=a^2-b^2\, ...
- 14/03-2009 13:49
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Nordisk Tallteori 94
- Svar: 8
- Visninger: 3533
Nordisk Tallteori 94
Finn alle positive heltall [tex]n<200[/tex] slik at [tex]n^2+(n+1)^2[/tex] er et kvadrattall.
- 14/03-2009 11:17
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Nordisk algebra
- Svar: 2
- Visninger: 1428
La k=\prod_{i=1}^n (a_1+b_i)=\prod_{i=1}^n (a_2+b_i)=\cdots=\prod_{i=1}^n (a_n+b_i) Definér polynomet P(x)=\prod_{i=1}^n (x+b_i)\,-k Da har vi at P(a_j)=0\,\, \forall j\in {1,2,...,n} Siden alle a_j er distinkte har vi at P(x)=\prod_{i=1}^n(x-a_i) Da har vi at P(-b_j)=-k=(-1)^n\prod_{i=1}^n (b_j+a_i...
- 10/03-2009 15:23
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Polynom/funksjonallikning
- Svar: 4
- Visninger: 1985
Her er en annen løsning på a)... Setter vi \,x\rightarrow x-1 i likningen \,P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1) får vi P(x-1)P(x)=P((x-1)^2+(x-1)+1)=P(x^2-x+1) . Anta nå at P har reelle røtter og at x_0 er den roten slik at |x_0| er størst. Vi har nå at \,x_0^2+x_0+1 og \,x_0^2-x_0+1 også er røtter i P . |x_0|=x_...
- 10/03-2009 01:15
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Matematikkolympiadenøtt!
- Svar: 4
- Visninger: 2258
Her ligger den: http://www.mat.itu.edu.tr/gungor/IMO/ww ... ln002.html
- 09/03-2009 22:35
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Polynom/funksjonallikning
- Svar: 4
- Visninger: 1985
Polynom/funksjonallikning
Et polynom [tex]P\in\mathbb{R}[x][/tex] (reelle koeffisienter) av grad større enn 0 er slik at:
[tex]P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)[/tex]
a) Vis at [tex]P[/tex] ikke har noen reelle røtter.
b) Finn alle polynomer [tex]P[/tex].
[tex]P(x)P(x+1)=P(x^2+x+1)[/tex]
a) Vis at [tex]P[/tex] ikke har noen reelle røtter.
b) Finn alle polynomer [tex]P[/tex].
- 09/03-2009 11:50
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Matematikkolympiadenøtt!
- Svar: 4
- Visninger: 2258
Den er allerede postet her: http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... hp?t=21747
PS:Det finnes en mye kortere løsning...
PS:Det finnes en mye kortere løsning...
- 08/03-2009 23:13
- Forum: Kveldens integral og andre nøtter
- Emne: Tredjegradspolynom
- Svar: 7
- Visninger: 2868
Får gjøre et forsøk: P(x)=a(x-u)(x-v)(x-w) \,\, \Rightarrow \,P^\prime (x)= a \left((x-u)(x-v)+(x-v)(x-w)+(x-w)(x-u) \right)\,\, \Rightarrow P^{\prime \prime} (x)= 2a\left((x-u)+(x-v)+(x-w)\right) La nå \,x-u=A\,\,x-v=B\,\,x-w=C\, da har vi: (P^\prime (x))^2 \geq P(x)P^{\prime \prime}(x) \,\, \Leftr...