Logaritmer: hvorfor kan jeg ikke gjøre det på denne måten?

[leao]

Sitter med en oppgave som jeg, etter å ha sett på løsningsforslaget, har gjort helt feil. Skjønner hvorfor de har gjort som de har gjort, men skjønner ikke hvorfor jeg IKKE kan gjøre det på min måte.

[tex] ln x\,+\,ln\,(x+2)=ln\,3 [/tex]

Denne prøvde jeg å løse ved å bare sette inn e for å "kansellere" ln, slik at jeg fikk:

[tex] e^{ln x}\,+\,e^{ln\,(x+2)}=e^{ln\,3} [/tex]

[tex] x\,+\,(x\,+\,2)=3 [/tex]

[tex] 2x=1 [/tex]

[tex] x=\frac{1}{2} [/tex]

Jeg ser jo at jeg får et helt annet svar enn det jeg egentlig får, men jeg er bare nysjerrig på HVORFOR jeg ikke kan gjøre det på denne måten? Kan noen forklare?

[Janhaa]

feil bruk av logaritmeregler...

[Vektormannen]

Du kan ikke opphøye i hvert ledd slik du har gjort her. Når du løser ligninger så utfører du de samme operasjonene på hver side av ligningen, ikke sant? På hver side må operasjonen utføres på hele uttrykket. Det er veldig sjelden vi skriver det, men når vi f.eks. deler på 4 i ligningen [tex]4x^2 + 8x = 4[/tex] så gjør vi egentlig [tex]\frac{4x^2 + 8x}{4} = \frac{4}{4}[/tex]. Merk at hele venstresiden deles på 4. Siden deling og brøker fungerer slik at vi kan dele hvert ledd på 4, får vi da at [tex]\frac{4x^2}{4} + \frac{8x}{4} = \frac{4}{4}[/tex]. Det sistnevnte her er kanskje det vi som regel gjør med en gang. Men det er viktig å være klar over at det er ingen generell regel som sier at vi kan utføre en operasjon ledd for ledd i en ligning. Det går bare for de operasjonene som er slik at de kan splittes opp ledd for ledd.

For ganging og deling kan vi det, siden vi har regelen [tex]a(b+c) = ab+ac[/tex] og [tex]\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}[/tex] som jeg brukte i sted. Men vi har ikke at [tex]e^{a+b} = e^a + e^b[/tex]!

For å løse denne ligningen må vi altså begynne med å opphøye begge sider - hele uttrykket på hver side - med e som grunntall. Da får vi [tex]e^{\ln x + \ln(x+2)} = e^{\ln 3}[/tex]. Så kan vi begynne å se etter noe vi kan bruke for å forenkle uttrykket på venstre side. Da får vi bruk for regelen [tex]e^{a+b} = e^a \cdot e^b[/tex], slik at vi får [tex]e^{\ln x} \cdot e^{\ln(x+2)} = e^{\ln 3}[/tex].

edit: fikset en ørliten feil

[Nibiru]

Du kan ikke opphøye i hvert ledd slik du har gjort her. Når du løser ligninger så utfører du de samme operasjonene på hver side av ligningen, ikke sant? På hver side må operasjonen utføres på hele uttrykket. Det er veldig sjelden vi skriver det, men når vi f.eks. deler på 4 i ligningen [tex]4x^2 + 8x = 4[/tex] så gjør vi egentlig [tex]\frac{4x^2 + 8x}{4} = \frac{4}{4}[/tex]. Merk at hele venstresiden deles på 4. Siden deling og brøker fungerer slik at vi kan dele hvert ledd på 4, får vi da at [tex]\frac{4x^2}{4} + \frac{8x}{4} = \frac{4}{4}[/tex]. Det sistnevnte her er kanskje det vi som regel gjør med en gang. Men det er viktig å være klar over at det er ingen generell regel som sier at vi kan utføre en operasjon ledd for ledd i en ligning. Det går bare for de operasjonene som er slik at de kan splittes opp ledd for ledd.

For ganging og deling kan vi det, siden vi har regelen [tex]a(b+c) = ab+bc[/tex] og [tex]\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}[/tex] som jeg brukte i sted. Men vi har ikke at [tex]e^{a+b} = e^a + e^b[/tex]!

For å løse denne ligningen må vi altså begynne med å opphøye begge sider - hele uttrykket på hver side - med e som grunntall. Da får vi [tex]e^{\ln x + \ln(x+2) = e^{\ln 3}[/tex]. Så kan vi begynne å se etter noe vi kan bruke for å forenkle uttrykket på venstre side. Da får vi bruk for regelen [tex]e^{a+b} = e^a \cdot e^b[/tex], slik at vi får [tex]e^{\ln x} \cdot e^{\ln(x+2)} = e^{\ln 3}[/tex].

Det var et veldig bra svar, Vektormannen. Da har jeg lært noe jeg og

[leao]

Helt enig med Nibiru, veldig godt svar! Takk, dette forumet er gull