Differensiallikninger

[Nibiru]

Men jeg har dessverre en til.. Hvordan skal jeg løse denne?

[tex]my'=mg-py^2[/tex], hvor [tex]m,g,p[/tex] er konstantene. Jeg har tenkt slik så langt:

[tex]\frac{my'}{mg-py^2}=1[/tex]

[tex]\int\frac{m}{mg-py^2}dy=x+C[/tex]

Men hvordan skal jeg løse det integralet der?

[Vektormannen]

Hint: Faktoriser nevneren. Hvilken integrasjonsteknikk kan du bruke da?

[Nibiru]

[tex]mg-py^2=-p(y+\frac{\sqrt{m}\sqrt{g}}{\sqrt{p}})(y-\frac{\sqrt{m}\sqrt{g}}{\sqrt{p}})[/tex]

Så brukte jeg delbrøkoppspaltingsmetode for å integrere [tex]\frac{1}{(y+\frac{\sqrt{m}\sqrt{g}}{\sqrt{p}})(y-\frac{\sqrt{m}\sqrt{g}}{\sqrt{p}})}[/tex]

Videre etter utrolig mye arbeid har jeg gitt opp for nå. Er virkelig litt frustrert akkurat nå og har ikke lyst å fortsette.

Jeg kom fram til dette uttrykket:

[tex]y+\frac{\sqrt{m}\sqrt{g}}{\sqrt{p}}=Ce^{2x\cdot{\frac{\sqrt{p}\sqrt{g}}{\sqrt{m}}}}\cdot{(y-\frac{\sqrt{m}\sqrt{g}}{\sqrt{p}})}[/tex]

Så ser jeg ikke for meg hvordan kan dette løses med hensyn på y.

[Vektormannen]

Ja, dette er grisete greier. For å løse med hensyn på y må du først få alle ledd med y på én side og så faktorisere. Vi får da

[tex]y(1 - Ce^{2x \cdot \sqrt{\frac{pg}{m}}}) = -\sqrt{\frac{mg}{p}}(1 + Ce^{2x \cdot \sqrt{\frac{pg}{m}}})[/tex]

Da er resten snakk om å dele på faktoren [tex]y[/tex] er ganget med og så eventuelt pynte på uttrykket. Nå har jeg tatt for gitt at regningen frem hit er riktig da . Men om du har gjort feil så vil vel tankegangen for å løse for y kanskje bli den samme.

[Aleks855]

Wow, den der var litt kjip gitt. Her er mitt forsøk. Ta det med en klype salt. Det er godt mulig det finnes lettere metoder.

Prøvde å faktorisere ut mg, som etter litt algebra gir [tex]\frac1g \int \frac1{1-\frac{py^2}{mg}}dx[/tex].

Deretter, med substitusjon: [tex]u=\sqrt{}\frac{py^2}{mg} = \frac{\sqrt p y}{\sqrt m \sqrt g}[/tex]

Det ser stygt ut fordi det er så mange konstanter i form av bokstaver, men de er jo lett å håndtere, sånn egentlig.

Så u=blabla, så får vi du= nesten det samme, bare uten y'en. Så står vi igjen med [tex]\sqrt{\frac m {gp}}\int \frac1{1-u^2}du[/tex]. Rotuttrykket her er bare en konstant, og bare "henger med", men integralet er kanskje litt mer håndterlig nå. Om den ser vrien ut, så er det egentlig bare en regneregel.

[Nibiru]

[tex]e^{2x\cdot{\sqrt{\frac{pg}{m}}}}[/tex] er vel ikke det samme som [tex]e^2\cdot{\sqrt{\frac{pg}{m}}}\cdot{x}[/tex], ikke sant?

[Vektormannen]

Det er ikke det samme nei. Generelt er [tex]e^{ab} = (e^{a})^b = (e^b)^a[/tex]. Noe stort mer kan vi ikke gjøre, og det vil ikke hjelpe deg her.

[Nibiru]

Oppgaven lyder egentlig slik:
En bedre modell ved fritt fall er å sette luftmotstanden [tex]L=pv^2[/tex], der p er en konstant. Finn [tex]v(t)[/tex] når [tex]v(0)=0[/tex]

Så har vi at [tex]ma=G-L[/tex], som gir [tex]mv'=mg-pv^2[/tex]. Ut fra dette gikk jeg videre. Jeg setter [tex]v=y[/tex]. (Når L=pv så har vi enkelt diff.likning).


Ok, jeg har kommet fram til denne:

[tex]ln|y-\sqrt{\frac{mg}{p}}|-ln|y+\sqrt{\frac{mg}{p}}|=\frac{t+C}{-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{pg}}}[/tex]

Som gir:(?)

[tex]|y-\sqrt{\frac{mg}{p}}|+\frac{1}{|y+\sqrt{\frac{mg}{p}}|}=e^{\frac{t+C}{-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{m}{pg}}}}[/tex]

Ut fra det kan jeg finne [tex]y[/tex], også bruke [tex]y(0)=0[/tex]

Tror dere det er mulig ut fra det uttrykket der å få [tex]y(t)=\frac{\sqrt{\frac{mg}{p}}(e^2\cdot{\sqrt{\frac{gp}{m}}}\cdot{t}+1)}{e^2\cdot{\sqrt{\frac{gp}{m}}}\cdot{t}+1}[/tex] ?

Jeg var veldig nær fasitsvaret i går, så jeg prøver i dag igjen.

[Janhaa]

sjå her

http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... ht=#111051

[Vektormannen]

Her mistenker jeg at fasiten er feil. Jeg tror ikke det bare skal stå [tex]e^2[/tex], men faktisk [tex]e^{2\sqrt{\frac{gp}{m}}t}[/tex]. Jeg går også ut fra det er et minus i nevneren i fasiten? Hvis ikke kan den jo strykes mot telleren.

EDIT: Og da ser vi at det stemmer bra med linken ovenfor. Da var heller ikke det du postet til å begynne med så veldig langt unna.

[Nibiru]

Nei, det er ikke minus i fasiten. Jeg også tenkte at det kan da strykes. Rare saker.. Hvorfor er det så mange fasitfeil?!

Men endelig fikk jeg til denne oppgaven. Jeg var egentlig på riktig vei igår, men det var fasiten som forvirret meg og jeg gitt opp. Jeg gjorde litt annerledes når det gjelder faktorisering og integrasjon enn Andreas345, men fikk til slutt samme svar som han. Jeg er faktisk litt stolt over meg selv at jeg fikk den til . Oppgaven føltes litt over vgs nivå.

PS: hvorfor maksimal tillat størrelse av et bilde som kan opplastes her er bare 256kb? Tenkt å vise utregningen min, men bildet tatt med ipad veier tydeligvis for mye.


facebook

[Vektormannen]

Bra jobba! Av og til virker det som de har vært ekstremt sløve med fasitene. Dette er vel kanskje den siste oppgaven som burde hatt fasitfeil. Hvilken bok er det du bruker? Jeg vet at Sinus R2 har en feiloversikt her hvis det er den boken du bruker.

Forresten, hvis du kommer over en slik oppgave med mange konstanter og vås en annen gang så kan den metoden Aleks855 viste være veldig nyttig. Da får du bort konstanter som har lett for å lage krøll under integrasjonen.

[Nibiru]

Jeg bruker Sigma. Nå har jeg letet litt etter fasitfeil og har funnet en. Der står det at svaret vi fikk er riktig. Det er ganske mange fasitfeil i kapitel om differensiallikninger.

Ja, metoden til Aleks er bra. Jeg slipper å regne så mye konstantene. Jeg skjønte den. Og integralet som fås der løses ved sin/cos substitusjon eller det går ann å skrive det som (1-u)(1+u) og bruke delbrøksoppspaltning?

Igjen, takker til dere for all hjelp jeg har fått.

[Vektormannen]

Det blir delbrøk på det nye integralet ja, akkurat som du gjorde her. (Hvis det hadde gått an å bruke en eller annen trigonometrisk substitusjon så ville du også kunne gjort det på det opprinnelige integralet.)