Derivasjon

[Nibiru]

Vis at vendepunktet ved logistisk vekst er [tex]0,5B[/tex].

Her er det jeg gjør:

Logistisk vekst:

[tex]N'=kN(B-N)[/tex]

Så er det spørsmålet mitt, hvordan deriverer jeg begge sider her? Jeg ble veldig forvirret når jeg prøvd å bruke symbolene, altså [tex]\frac{d}{dN}[/tex] eller [tex]\frac{d}{dx}[/tex]. Jeg er vant å derivere uttrykkene som inneholder bare x (da bruker jeg [tex]\frac{d}{dx}[/tex], ikke sant?), ikke funksjonene. Så jeg derivert bare på samme måte som om det stod x isteden for N.

[tex]N''=(kN(B-N))'[/tex]

[tex]N''=(kBN-kN^2)'[/tex]

[tex]N''=(kB-2kN)[/tex]

[tex]N''=0[/tex] gir [tex]kB=2kN[/tex] som gir [tex]N=0,5B[/tex]

Dette er riktig svar, men jeg er sikker på at jeg har skrevet det litt feil. Kan noen forklare meg symbolbruk og vise hvordan det skulle skrives ned på riktig måte? Også må jeg ikke vise at [tex]N''[/tex] skifter fortegn når [tex]N=0,5B[/tex] for at vi skal få vendepunkt i det punktet?

[Nebuchadnezzar]

Du har vel her glemt å derivere $N$? Husk at $N = N(t)$, altså $N$ eren funksjon av $t$. Så når du deriverer, deriverer du
begge sider med hensyn på $t$.

Men det er rett at du skal derivere begge sider ja, prøv en gang til å se hva du får, du må bruke kjerneregelen på
$N(t)^2$, slik at

$ \hspace{2 cm} \displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( N(t)^2 \right) = 2 \cdot N(t) \cdot N'(t) $

[Nibiru]

Blir det slik da?

[tex]N'(t)=kN(t)\cdot{(B-N(t))}[/tex]

[tex]N'(t)=kBN(t)-kN(t)^2[/tex]

[tex]\frac{d}{dt}N'(t)=\frac{d}{dt}kBN(t)-\frac{d}{dt}kN(t)^2[/tex]

[tex]N''(t)=kBN'(t)-k\cdot{2N(t)}\cdot{N'(t)}[/tex]

[tex]N''(t)=(kB-2kN(t))\cdot{N'(t)}[/tex]
_____________________________________

Så [tex]\frac{d}{dN}N=N'[/tex] og [tex]\frac{d}{dN}N^2=2N\cdot{N'}[/tex] ?

[Vektormannen]

Til det siste der: [tex]\frac{d}{dN} N = 1[/tex] og [tex]\frac{d}{dN} N^2 = 2N[/tex]. Det du har skrevet er hhv. [tex]\frac{d}{dt} N[/tex] og [tex]\frac{d}{dt} N^2[/tex].

Når det gjelder løsningen din nå så ser den riktig ut.

[Nibiru]

Hva blir da [tex]\frac{d}{dN}N'[/tex] ?

[Vektormannen]

Generelt blir vel det ikke så lett å svare på, men i denne oppgaven vet vi at [tex]N' = kB N - kN^2[/tex], så det blir vel da [tex]kB - 2kN[/tex].

[Nibiru]

Generelt blir vel det ikke så lett å svare på, men i denne oppgaven vet vi at [tex]N' = kB N - kN^2[/tex], så det blir vel da [tex]kB - 2kN[/tex].

Da blir vel min første løsning riktig? Men den andre løsning er på en måte mer riktig?

[Vektormannen]

Nei, det blir jo ikke riktig, uttrykkene for N'' i den første løsningen din og den siste er jo ikke like. Den siste er riktig, og den første er ikke litt riktig, men feil . I den første sier du egentlig at [tex]N''[/tex], altså den dobbeltderiverte av N med hensyn på t er lik [tex]\frac{d}{dN} N'[/tex], og det stemmer jo ikke. Husk at ' betyr derivert med hensyn på argumentet til funksjonen, her t.

[Nibiru]

Ok, jeg tror jeg har skjønt den. Tusen takk, Nebu og VM.