[tex]\Huge\textsc{Løsningsforslag}[/tex]
Del 1
1)
a) [tex]f'(x)=(2x^3)'+(4x^2)'-(7)'=2*3*x^{3-1}+2*4*x^{2-1}-0=6x^2+8x[/tex]
b) [tex]f(x)=3(x+1)^2\rightarrow f'(x)=3*\left ((u)^2 \right )'*u'=3*2(x+1)*1=6x+6[/tex]
c) [tex]f'(x)=(e^{2x})'*ln(x^2+5)+\left ( e^{2x} \right )*\left ( ln(x^2+5) \right )'=2e^{2x}*ln(x^2+5)+e^{2x}*\frac{1}{x^2+5}*2x=2e^{2x}ln(x^2+5)+\frac{2xe^{2x}}{x^2+5}[/tex]
2)
a)
[tex]f(1)=1^3+6*1^2+5*1-12=1+6+5-12=12-12=0[/tex]
[tex]f(1)=0\Leftrightarrow f(x)=0(mod\:\:(x-1))[/tex]
b) Her kunne vi brukt polynomdivisjon : [tex](x^3+6x^2+5x-12)\:\::(x-1)[/tex]
Men finner det tidkrevende med TEX så bruker heller det følgende moment:
Hvis [tex]f[/tex] har heltallige løsninger er de delelig på konstantleddet, [tex]-12[/tex], så skjekker om [tex]\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4,\pm 6\pm 12[/tex] gir [tex]f(x)=0[/tex]
ser at det blir [tex]x=-3\:og\:x=-4[/tex]
[tex]f(x)=x^3+6x^2+5x-12=(x-1)(x+3)(x+4)[/tex]
c)
[tex]f(x)\geq 0\:\Leftrightarrow \left \{ -4\leq x\leq -3\:\:U\:x\geq 1 \right \}[/tex]
3)
a) [tex]f(x)=0\Leftrightarrow f(x)=x^3-3x=0\Leftrightarrow x(x^2-3)\Leftrightarrow x=0\:\:\vee x^2-3=0\Leftrightarrow x=0\:\vee x=\pm \sqrt{3}[/tex]
b) [tex]f'(x)=3x^2-3[/tex]
[tex]f'(x)=0\:\Leftrightarrow 3x^2-3=0\Leftrightarrow 3(x^2-1)=0\Leftrightarrow 3\neq0\:x^2-1=0\Rightarrow \:x=\pm \sqrt{1}[/tex]
tegner fortengslinje og ser at
[tex](-1,f(-1)_{maksimalverdi})=(1,-2)\:\:=toppunkt[/tex]
[tex](1,f(1)_{minimalsverdi})=(1,-2)\:=bunnpunkt[/tex]
c)
[tex]f''(x)=6x[/tex]
[tex]f''(x)=0\Leftrightarrow 6x=0\Leftrightarrow x=0[/tex]
[tex]y=f'(a)(x-a)+f(a)[/tex]
[tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)=\left (3*0^3-3 \right )\left ( x \right )\left ( 0^3-3*0\right )=-3x[/tex]
[tex]y=-3x[/tex]
e) Bare til å tegne opp - krummingen, ekstremalpunkter, skjæring med koordinataksene, osv,
f)
[tex]g(x)=ax+b[/tex]
Hvis det er tilfelle at vi må bestemme en konstant a slik at [tex]g[/tex] skjærer grafen til [tex]f[/tex] kun i ett punkt uansett hvilken verdi b har, må denne grafen være paralell med vende tangenten så [tex]y\:\:\parallel\:g(x)[/tex]
slik at [tex]a=vendepunkt=-3[/tex]
vi ender opp med grafen:
[tex]g(x)=-3x+b[/tex]
Denne vil nok ikke skjære grafen til [tex]f[/tex] i flere enn 1 punkt.
lett å se det grafisk i koordinatsystemet som man skulle lage i e)
4)
[tex]ln\left ( a^2*b \right )-ln\left ( \frac{a}{b} \right )+ln\left ( \frac{1}{b} \right )=ln\left ( \frac{\left ( a^2b \right )}{\left ( \frac{a}{b}*\frac{1}{b} \right )} \right )=ln(ab)=lna+lnb[/tex]
5)
a)
[tex]\vec{a}\:\parallel\:\vec{b}\:\Leftrightarrow \vec{a}=t*\vec{b}[/tex]
[tex]\left [ -3,5 \right ]=t\left [ 6,k \right ]\Leftrightarrow \left [ -3,5 \right ]=\left [ 6t,kt \right ]\Leftrightarrow -3=6t\:\:\wedge 5=6kt[/tex]
[tex]-3=6t\Leftrightarrow t=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{3}[/tex]
[tex]5=6kt\Rightarrow 5=6*-\frac{1}{3}k\Leftrightarrow 5=-2k\Leftrightarrow k=-\frac{5}{2}=-2.5[/tex]
b)
[tex]\vec{a}\:\perp\:\vec{b}\Leftrightarrow \vec{a}*\vec{b}=0\Leftrightarrow \left [ -3,5 \right ]*\left [ 6,k \right ]=0\Leftrightarrow -3*6+5*k=0\Leftrightarrow 5k=18\Leftrightarrow k=\frac{18}{5}=3.6[/tex]
6)
a)
[tex]\left (8\choose\: 3 \right )\:\:\:=\frac{8!}{3!(8-3)!}=C(8,3)=56[/tex]
b) Bruker hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling, selv om det er unødvending.
[tex]P(2gutterog1jente)=\frac{{5 \choose 1} *{3 \choose 2} }{{8 \choose 3} }=\frac{15}{56}\approx0.27=27\%[/tex]
7)
Morsomt alternativ framfor mange av disse kjedelige konstruksjonene
8)
a)
[tex]\triangle\:ABC[/tex]
[tex]A(0,0),\:B(7,0)\:,C(5,6)[/tex]
[tex]\vec{BC}=\left [ 5-7,6-0 \right ]=\left [ -2,6 \right ][/tex]
[tex][tex][/tex]\left | \vec{BC} \right |=\sqrt{\left ( -2 \right )^2+6^2}=2\sqrt{10}\approx6.32/tex]
b)
[tex]\vec{OD}=\vec{OC}+\vec{CD}[/tex]
Ettesom det er snakk om et parallelogram er [tex]\vec{AB}=-\vec{CD}=-\left [ 7-0,0-0 \right ]=\left [- 7,-0 \right ][/tex]
[tex]\vec{OD}=\vec{OC}+\vec{CD}=\left [ 5,6 \right ]+\left [ -7,-0 \right ]=\left [ -2,6 \right ][/tex]
Punktet D har koordinatene [tex]D\:(-2,6)[/tex]
9)
a)
Et oddetall kan skrives generelt på formen: [tex]2n+1[/tex]
slik at:
[tex](2n+1)^2=4n^2+4n+1=2(2n^2+2n)+1[/tex]
Hvor [tex](2n^2+2n)[/tex] er et helt tall fordi 2* heltall +2*heltall =heltall
slik at vi får [tex]2(heltall)+1=2s+1,\:s\in\:\mathbb{Q}[/tex]
Q.E.D
b)
Benytter meg av skrivemåten for et oddetall:
[tex]2n+1[/tex], [tex]2s+1[/tex]hvor n og s er begge hele tall
Slik at vi får:
[tex](2n+1)^2-(2s+1)^2=4n^2+4n-4s^2-4s=4(n^2+n-s^2-s)[/tex]
Slik at [tex]4(n^2+n-s^2-s)\:\:\mid\:4[/tex]
Q.E.D
Vennligst gi bedskjed om noen ser noen feil =). Det var en grei del 1
. Irriterer meg grenseløst ... 
