Monotoniegenskaper

[sEirik]

Jeg var uenig i noe matematikklæreren påstod i går.
Vi hadde gitt en tredjegradsfunksjon, som var gitt slik at den steg i intervallet [tex]<\leftarrow, -3>[/tex], minket i [tex]<-3, 2>[/tex] og steg i [tex]<2, \rightarrow>[/tex]. Det læreren påstod var at det var feil å si at funksjonen stiger i intervallet [tex]<\leftarrow, -3> \cup <2, \rightarrow>[/tex], mens det er riktig å bruke ordet "og" i stedet for union. Begrunnelsen til læreren var at hvis en funksjon stiger i et intervall, kan man velge to verdier i intervallet, en større enn den andre, og da vil funksjonsverdien for den største verdien nødvendigvis være større enn funksjonsverdien for den minste verdien. Jeg mener at det bør gå an å bruke union, fordi jeg mener disse definisjonene er riktig:
- En funksjon stiger i et punkt hvis den deriverte er større enn null i punktet.
- En funksjon stiger i et intervall hvis den deriverte er større enn null for alle verdier i intervallet.
Selvsagt kan dette være et definisjonsspørsmål, og forskjellige bøker kan gå ut fra forskjellige definisjoner, men er det noen som har et klart svar her? Er det riktig å bruke union?

[Solar Plexsus]

Er helt enig med læreren din.

For det første kan du ikke bruke termen "intervall" om [tex]<\leftarrow ,-3> \cup <2,\rightarrow> = X.[/tex] Et intervall er jo en sammenhengende del av talllinjen. Altså er [tex]X[/tex] en union av to intervall.

Dersom du på tross denne innvendingen velger å betrakte [tex]X[/tex] som et intervall, støter du på et nytt problem. Per definisjon er en funksjon (som læreren din påpeker) stigende i et intervall [tex]I[/tex] hvis [tex]f(a) \leq f(b)[/tex] når [tex]a \leq b[/tex] og [tex]a,b \in I.[/tex] I dette tilfellet avtar den kontinuerlige funksjonen [tex]f[/tex] i intervallet [tex]<-3,2>[/tex]. Dette innebærer at det finnes et positivt tall [tex]\epsilon[/tex] slik at [tex]a = -3 - \epsilon \: < \: 2 + \epsilon = b[/tex] og [tex]f(a) \:>\: f(b)[/tex] med [tex]a,b \in X.[/tex] Dette stemmer åpenbart ikke overens med definisjonen ovenfor.

Min konklusjon blir dermed den samme som din matematikklærer kom fram til: Man må si at funksjonen stiger i intervallene [tex]<\leftarrow ,-3>[/tex] og [tex]<2,\rightarrow>.[/tex]

[sEirik]

takk for oppklaringen - det hjalp veldig å påpeke forskjellen på intervall og mengde.
Jeg stusset også på at han sa at funksjonen stiger et ekstremalpunkt, men da må det nødvendigvis stemme det da? Altså vil funksjonen f(x) = k stige i hele intervallet fra minus uendelig til uendelig?