Lurte på om nokon kunne forklare korleis ein finn avstanden mellom eit punkt og ei linje?
T.d: Finn avstanden mellom punktet A(1,2) og linja m (x = 3 - s, y = 3 + s).
Vektorar.
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Har prøvd å forklare en generell framgangsmåte og til slutt "en formel", men det "stopper opp" i utregningene mine:aoede skrev:Lurte på om nokon kunne forklare korleis ein finn avstanden mellom eit punkt og ei linje?
T.d: Finn avstanden mellom punktet A(1,2) og linja m (x = 3 - s, y = 3 + s).
Du har punktet A(a, b) retningsvektoren for linja m: [tex]\quad \vec r = [c,d]\quad[/tex] og et punkt på linja har koordinatene P(e+cs, f+ds), da vil vektoren:
[tex]\vec n = [-d, c] \quad[/tex] stå vinkelrett på [tex]\quad \vec r[/tex]
Dersom vi nå krever at n-vektor og vektoren mellom A og P skal være like lange, vil vi finne "riktig" plassering av punktet P på linja.
Vi får altså likningen:
[tex]| \vec n |= | \vec {AP} |[/tex]
Vi får:
[tex]| \vec [-d,c]| = |[e+cs-a, f+fs-b] | [/tex]
[tex] \sqrt{(-d)^2 + c^2} = \sqrt {(e+cs-a)^2 + (f+fs-b)^2}[/tex]
Denne likningen skal jeg nå løse for s og bruke det uttrykket jeg finner å sette det inn uttrykket for AP-vektor og beregne lengden av denne. Dette vil være den søkte lengden.... Noen som forsto den...?
Her stopper det opp for meg, men på dette forumet er det mange folk som er flinkere enn meg, kanskje de kan ta dette videre...?
hehe, det finnes selvsagt en "trinnvis" framgangsmåte som er mye lettere å vise på et eksempel, men jeg ville altså finne fram til en avstandsformel, mener også at det i gamle utgaver var den slik...
Kommer tilbake... Ser om jeg finner ei gammel formelsamling....
Kommer tilbake... Ser om jeg finner ei gammel formelsamling....
Fant ingen gammel formelsamling, men prøver meg allikevel med:
[tex]d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Der [tex]\quad x_0 \quad[/tex] og [tex]\quad y_0 \quad [/tex] er koordinatene til punktet du skal finne avstanden til fra linja gitt av formelen [tex]\quad ax + by + c = 0 \quad[/tex]
Har vi så linja gitt som ei parameterframstilling, må vi skrive den om til formen:[tex]\quad ax + by + c = 0 \quad[/tex]. Før vi kan bruke avstandsformelen over.
Tilbake til eksempelet:
Vi har: [tex]\quad x = 3-s \quad[/tex] og [tex]\quad y = 3+s \quad[/tex]
Som gir:
[tex]s = - x - 3 \quad [/tex] som settes inn i:
[tex] y = 3 + (- x -3) [/tex]
[tex]y = 6 - x [/tex]
[tex]x + y - 6 = 0[/tex]
Vi har altså: [tex]\quad x_0 = 1 \quad[/tex], [tex]\quad y_0 = 2 \quad[/tex], [tex]\quad a = 1 \quad[/tex], [tex]\quad b = 1 \quad[/tex] og [tex]\quad c = -6 \quad[/tex]. Dette setter vi inn i formelen og får:
[tex]d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac {3}{\sqrt{2}}[/tex]
[tex]d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Der [tex]\quad x_0 \quad[/tex] og [tex]\quad y_0 \quad [/tex] er koordinatene til punktet du skal finne avstanden til fra linja gitt av formelen [tex]\quad ax + by + c = 0 \quad[/tex]
Har vi så linja gitt som ei parameterframstilling, må vi skrive den om til formen:[tex]\quad ax + by + c = 0 \quad[/tex]. Før vi kan bruke avstandsformelen over.
Tilbake til eksempelet:
Vi har: [tex]\quad x = 3-s \quad[/tex] og [tex]\quad y = 3+s \quad[/tex]
Som gir:
[tex]s = - x - 3 \quad [/tex] som settes inn i:
[tex] y = 3 + (- x -3) [/tex]
[tex]y = 6 - x [/tex]
[tex]x + y - 6 = 0[/tex]
Vi har altså: [tex]\quad x_0 = 1 \quad[/tex], [tex]\quad y_0 = 2 \quad[/tex], [tex]\quad a = 1 \quad[/tex], [tex]\quad b = 1 \quad[/tex] og [tex]\quad c = -6 \quad[/tex]. Dette setter vi inn i formelen og får:
[tex]d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 - 6|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac {3}{\sqrt{2}}[/tex]
Sist redigert av ettam den 04/12-2006 21:00, redigert 1 gang totalt.
Lenge siden jeg har drevet med det her, men prøv flg fremgangsmåte. Ta retningsvektoren til linjen, kall den [tex]\mathbb{r}[/tex]. Ta så en generell vektor mellom A og linja, gitt ved [tex]\mathbb{n}=[1-x,2-y][/tex]. Denne vektoren avhenger da av parameteren s. Som sagt må vi finne når disse er ortogonale,dvs [tex]\mathbb{r}\cdot\mathbb{n}=0[/tex]. Løs dette med hensyn på s. Da har du jo vektoren mellom A og linja, så kan du bare finne lengden av den.
Har ikke prøvd å regne dette, så vet ikke helt sikkert om det fører frem.
Har ikke prøvd å regne dette, så vet ikke helt sikkert om det fører frem.
Var det ikke det jeg "prøvde på" da...?
I det n-vektoren er ortogonal med linja...
---------------------------------------------------------------------------------------
Vel, vel. Nok om det, den andre framgangsmåten med avstandsformelen er så vidt jeg husker basert på "Chaucys" forklaring/beskrivelse og blir gjennomført i utledningen av en avstandsformel i hvertfall i eldre utgaver av 2MN eller 3MN bøker mener jeg å huske...
I det n-vektoren er ortogonal med linja...
---------------------------------------------------------------------------------------
Vel, vel. Nok om det, den andre framgangsmåten med avstandsformelen er så vidt jeg husker basert på "Chaucys" forklaring/beskrivelse og blir gjennomført i utledningen av en avstandsformel i hvertfall i eldre utgaver av 2MN eller 3MN bøker mener jeg å huske...
Sist redigert av ettam den 04/12-2006 21:08, redigert 1 gang totalt.
Enig! Den var grisete ja, takk for hjelpa!
Ditt første innlegg hjalp meg til å huske at avstandsformelen som jeg har presentert over er den "riktige"... Og at den "fungerer".
Ditt første innlegg hjalp meg til å huske at avstandsformelen som jeg har presentert over er den "riktige"... Og at den "fungerer".
Sist redigert av ettam den 04/12-2006 21:17, redigert 1 gang totalt.
Her fant jeg avstandsformelen utledet, slik som Cauchy foreslo:Cauchy skrev:Lenge siden jeg har drevet med det her, men prøv flg fremgangsmåte. Ta retningsvektoren til linjen, kall den [tex]\mathbb{r}[/tex]. Ta så en generell vektor mellom A og linja, gitt ved [tex]\mathbb{n}=[1-x,2-y][/tex]. Denne vektoren avhenger da av parameteren s. Som sagt må vi finne når disse er ortogonale,dvs [tex]\mathbb{r}\cdot\mathbb{n}=0[/tex]. Løs dette med hensyn på s. Da har du jo vektoren mellom A og linja, så kan du bare finne lengden av den.
Har ikke prøvd å regne dette, så vet ikke helt sikkert om det fører frem.
http://mathworld.wolfram.com/Point-Line ... ional.html
Se punkt (8).
)