Hjemmesnekret oppgave

[sEirik]

[tex]a_n = \frac{1,5}{2^n},\quad n \in \mathbb N[/tex]

Bevis at de to siste desimalene i [tex]a_n[/tex] er 75.

[ingentingg]

Skriver i to-tallssystemet.
[tex]a_n = \frac{1,1}{10^n}[/tex]

qed.

(deling på 10 er å flytte komma.[tex] ,....11_2 = ,....75_{10}[/tex])

[Magnus]

I grunn ikke helt slik jeg løste den. Legger det ut imorgen, sovetid nå.

[ingentingg]

Jeg kom på i ettertid at jeg egentlig ikke hadde løst den.
Må jo vise det som står i parantesen, og det er jo det samme som å vise hovedhypotesen.

Kan heller vise det ved hjelp av induksjon.

[tex]a_o = \frac{1,5}{2^1} = 0,75[/tex] Ok.

Antar ok for [tex][tex][/tex]a_n = \frac{1,5}{2^n} = 0,...75[/frac]

Må vise det for [tex]a_{n+1} = \frac{1,5}{2^{n+1}} = \frac{0,.....75}2[/tex]

divisjonen kan ende på to måter: a75/2 hvor a er odde eller jevn.
Hvis a er odde får man rest på 0,....175 og deler man det på 2 får man 0,...875
Er a par får man rest på 0,...75 og deler man det på 2 får man 0,.....375.

[mrcreosote]

Med litt kjennskap til moduloregning går det fort: Hvis 10^(n+1)*a_n er kongruent med 75 modulo 100 må påstanden nødvendigvis gjelde. (Men merk at det ikke gjelder andre veien.)

Nå er [tex]10^{n+1}a_n=3\cdot5^{n+1}[/tex] og vi har [tex]3\cdot5^{n+1}\equiv0\;(mod 5^2)[/tex] og [tex]3\cdot5^{n+1}\equiv3\;(mod 2^2)[/tex] så det følger at a_n ender sine desimaler med 75.

[Magnus]

Dette er det samme som [tex]3\cdot (0.5)^{n+1}[/tex] Legg merke til at et multiplikativ av bare 0.5 vil alltid ende på 25. (intuitivt). Deretter bare multipliserer man med 3. Starter med 5*3 = 15. Lar 5 stå, og gir 1 til neste. Så får vi 3*2 + 1 = 7. Ergo 75. Veldig vakkert føler jeg.........

[sEirik]

Flotte svar!