Hei, jeg vet ikke om jeg skal poste den på høyskole forumet eller vgs forumet. Men jeg sliter litt med å finne ut hvor mange løsninger denne ligningen har:
n = (xy)/(x+y), der n skal bli et heltall.
Er det noen sammenheng mellom å multiplisere to tall og addere de samme to tallene? Slik at man vet for eksempel at (10*15)/(10+15) = 6 og (8*8)/(8+8) = 4
Takker for alle tanker og svar som kan belyse problemet
Multiplikasjon og addisjon av to tall
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
For å finne alle løsninger av den diofantiske likningen
[tex](1) \;\;\; \frac{xy}{x \:+\: y} \;=\; n[/tex]
omformer vi likningen til
[tex](2) \;\;\; (x \:-\: n)(y \:-\: n) \;=\; n^2.[/tex]
Herav følger at løsningene til likning (1) er
[tex](x,y) \:=\: (n \:+\: d, \: n \:+\: \frac{n^2}{d}). [/tex]
der d er en heltallsdivisor til n[sup]2[/sup]. Dessuten må vi kreve at d [symbol:ikke_lik]- n ettersom x + y [symbol:ikke_lik] 0 i (1). M.a.o. er antall løsninger A(n) av likning (1) nøyaktig en mindre enn det antall heltallsdivisorer n[sup]2[/sup] har. Så hvis primtallsfaktoriseringen av |n| er [tex]\prod p^r[/tex], er
[tex]A(n) \;=\; -1 \:+\: \prod (2r \:+\:1).[/tex]
Herav følger at A(n)=5 når n er et primtall. Videre blir
[tex]A(48) \;=\; A(2^3 \cdot 3^2) \;=\; -1 \:+\: 2 \cdot (2 \cdot 3 \:+\: 1) \cdot (2 \cdot 2 \:+\: 1) \;=\; -1 \:+\:2 \cdot 7 \cdot 5 \;=\; 69.[/tex]
[tex](1) \;\;\; \frac{xy}{x \:+\: y} \;=\; n[/tex]
omformer vi likningen til
[tex](2) \;\;\; (x \:-\: n)(y \:-\: n) \;=\; n^2.[/tex]
Herav følger at løsningene til likning (1) er
[tex](x,y) \:=\: (n \:+\: d, \: n \:+\: \frac{n^2}{d}). [/tex]
der d er en heltallsdivisor til n[sup]2[/sup]. Dessuten må vi kreve at d [symbol:ikke_lik]- n ettersom x + y [symbol:ikke_lik] 0 i (1). M.a.o. er antall løsninger A(n) av likning (1) nøyaktig en mindre enn det antall heltallsdivisorer n[sup]2[/sup] har. Så hvis primtallsfaktoriseringen av |n| er [tex]\prod p^r[/tex], er
[tex]A(n) \;=\; -1 \:+\: \prod (2r \:+\:1).[/tex]
Herav følger at A(n)=5 når n er et primtall. Videre blir
[tex]A(48) \;=\; A(2^3 \cdot 3^2) \;=\; -1 \:+\: 2 \cdot (2 \cdot 3 \:+\: 1) \cdot (2 \cdot 2 \:+\: 1) \;=\; -1 \:+\:2 \cdot 7 \cdot 5 \;=\; 69.[/tex]
Takk for din enorme innsikt Solar Plexus. Det hjalp en hel del. Jeg er ikke saa dreven paa diofantiske ligninger eller noe lignende saa jeg lurte litt paa den notasjonen som du har brukt. Hva menes med det tegnet som ser mest ut som en stor pi? (Der du kommer fram til en formel for løsninger uttrykt ved primtallsfaktoriseringen)
[tex]\prod p^r[/tex]
Vet du forresten om noen nettsteder der jeg kan lese litt mer om den løsnings metoden du har brukt? Det hadde vært fint om du forklarte litt mer om hvordan du omformet ligningen og kom fra til ligning (3).
Takker og bukker!
[tex]\prod p^r[/tex]
Vet du forresten om noen nettsteder der jeg kan lese litt mer om den løsnings metoden du har brukt? Det hadde vært fint om du forklarte litt mer om hvordan du omformet ligningen og kom fra til ligning (3).
Takker og bukker!
Den bokstaven er STOR pi, og er det samme for produkt, som sigma er for sum. Akkurat som:
[tex]\prod _{n=1}^5 n = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 5![/tex]
Edit: fikset feilen!
[tex]\prod _{n=1}^5 n = 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 = 5![/tex]
Edit: fikset feilen!
Sist redigert av Magnus den 27/12-2006 16:50, redigert 2 ganger totalt.
