derivasjon av vektorfunksjoner

[legrys]

Hei igjen, jeg tar opp 3mx som privatist og sliter litt. Hvis det skulle være noen som er innom disse forumene i romjula så tar jeg gjerne imot hjelp eller forslag med denne:

Et pungt beveger seg på grafen til r(t)= [t+2, t[sup]2[/sup]-3]
b) Bestem koordinatene til et pungt P på grafen der fartsvektoren er
parallell med posisjonsvektoren OP.
c) Kan du velge t slik at posisjonsvektoren til et pungt P på grafen til r(t)= [t, e[sup]t[/sup]] blir parallell med tangenten i dette pungtet?

[daofeishi]

b) Posisjonsvektoren er gitt ved r(t) = [t+2, t[sup]2[/sup]-3]
Da er fartsvektoren gitt ved derivatet av r(t):
v(t) = [1, 2t]

Du vil at disse vektorene skal være parallelle. Altså r(t) = k*v(t). x- og y-komponentene av vektorene må være de samme. Altså har du følgende system:

t+2 = k
t[sup]2[/sup]-3 = 2kt

t[sup]2[/sup] + 4t + 3 = 0
(t+1)(t+3) = 0

Dermed får du løsningene t = -1 og t = -3
(Som gir r(-1) = [1, -2] og v(-1) = [1, -2], like vektorer, og r(-3) = [-1, 6] og v(-3) = [1, -6], antiparallelle vektorer.)


c) r(t) = [t, e[sup]t[/sup]]
Tangenten til r(t) er gitt ved derivatet, altså r'(t) = [1, e[sup]t[/sup]]
Samme approach gjelder her. r(t) = k*r'(t), og komponentene må være like.

t = k
e[sup]t[/sup] = ke[sup]t[/sup]

e[sup]t[/sup] = te[sup]t[/sup]
t = 1