funksjonslære
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Hmm.
[tex]e^k = \sum_{n=0}^\infty \frac{k^n}{n!}[/tex]
[tex]k = ix[/tex]
[tex]e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!}[/tex]
Og så var jo
[tex]\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Så n i e-rekka tilsvarer 2n i cos-rekka, slik at cos-rekka bare består av annenhvert ledd fra e-rekka. Så var det sinus:
[tex]\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]
Kanskje den kan fås over på en form slik at den fyller ut cos-rekka, slik at sinus og cosinus tilsammen blir e^ix.
[tex]\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n} \cdot x}{(2n+1)!}[/tex]
Jeg vil gjerne ha (2n+1) i eksponenten der oppi, så jeg ganger med i på begge sider for å få det.
[tex]i \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]
Se der ja, så bra. Da ser vi at
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]
Konklusjonen blir da
[tex]e^{ix} = \cos x + i \sin x[/tex]
[tex]e^k = \sum_{n=0}^\infty \frac{k^n}{n!}[/tex]
[tex]k = ix[/tex]
[tex]e^{ix} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!}[/tex]
Og så var jo
[tex]\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}[/tex]
Så n i e-rekka tilsvarer 2n i cos-rekka, slik at cos-rekka bare består av annenhvert ledd fra e-rekka. Så var det sinus:
[tex]\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]
Kanskje den kan fås over på en form slik at den fyller ut cos-rekka, slik at sinus og cosinus tilsammen blir e^ix.
[tex]\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n} \cdot x}{(2n+1)!}[/tex]
Jeg vil gjerne ha (2n+1) i eksponenten der oppi, så jeg ganger med i på begge sider for å få det.
[tex]i \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]
Se der ja, så bra. Da ser vi at
[tex]\sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!} + \sum_{n=0}^\infty \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}[/tex]
Konklusjonen blir da
[tex]e^{ix} = \cos x + i \sin x[/tex]
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Gratulerer med å finne løsningen. Sett x = [symbol:pi], samle alt på en side og du får det som kalles "verdens fineste formel". Sammenhengen mellom e, [symbol:pi] , i og 1.
Nei, du kan ikke finne en enkel formel for sin[sup]-1[/sup]x.
Nei, du kan ikke finne en enkel formel for sin[sup]-1[/sup]x.
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Du kan i tillegg prøve å finne sinx og cosx uttrykt vha exp. Så kan du bruke dette til å enkelt vise de ulike formlene for sum av sin og cos.
Hvilket trinn går du forresten på?
Hvilket trinn går du forresten på?
-
ingentingg
- Weierstrass
- Innlegg: 451
- Registrert: 25/08-2005 17:49
Den kalles eulers likning.
Ang sin[sup]-1[/sup]x, så kan man finne et par ledd i taylorutviklingen. Man vil da innse at hele blir ganske stygg.
Observer følgende:
[tex]y = \sin ^{-1}x\\ \sin y = x [/tex]
Den nederste formelen kan man derivere mhp x. Husk at y er en funksjon av x, derfor må man bruke kjerneregelen når man skal derivere y. Løs deretter mhp y'.
Man vil da få et uttrykk med cos(sin[sup]-1[/sup]x) .
Dette kan man løse for x ved å teikne en trekant som passer til
y = sin[sup]-1[/sup]x
i en figur. og finne cos y.
Dette er og litt over 3MX nivå.
Ang sin[sup]-1[/sup]x, så kan man finne et par ledd i taylorutviklingen. Man vil da innse at hele blir ganske stygg.
Observer følgende:
[tex]y = \sin ^{-1}x\\ \sin y = x [/tex]
Den nederste formelen kan man derivere mhp x. Husk at y er en funksjon av x, derfor må man bruke kjerneregelen når man skal derivere y. Løs deretter mhp y'.
Man vil da få et uttrykk med cos(sin[sup]-1[/sup]x) .
Dette kan man løse for x ved å teikne en trekant som passer til
y = sin[sup]-1[/sup]x
i en figur. og finne cos y.
Dette er og litt over 3MX nivå.