Derivasjon *Hjelp!!!*

[*cathrine*]

Er det noen som klarer å derivere denne? ( x2 står for x i annen)

1/2 ( x √ (x2 + 1) + ln |x + √ (x2 + 1)|)

Svaret skal bli
[symbol:rot] (x2 + 1)

[Markonan]

Denne?

[tex]\frac{1}{2}\;(x(\sqrt{x^2+1}) + ln |x + \sqrt{x^2+1}|)[/tex]

[*cathrine*]

Ja, denne.

Den skal deriveres, og jeg får det ikke helt til... Klarer du det tror du ?

[daofeishi]

[tex]f(x) = \frac{1}{2} \left(x(\sqrt{x^2+1}) + ln |x + \sqrt{x^2+1}|\right)[/tex]

La oss ta denne del for del.

Vi bruker produktregelen på første ledd
[tex]\frac{d}{dx} (x \sqrt{x^2 +1}) = 1\cdot \sqrt{x^2 +1} + x \cdot \frac{2x}{2 \sqrt{x^2 +1}} = \sqrt{x^2 +1} + \frac{x^2}{\sqrt{x^2 +1}} = \frac{2x^2 + 1 }{\sqrt{x^2 +1}}[/tex]

Er du heldig, vet du at [tex]ln |x + \sqrt{x^2+1}| = \sinh^{-1}(x)[/tex] og at [tex]\frac{d}{dx} \sinh^{-1}(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}[/tex]
Hvis ikke, kjerneregelen på andre:
[tex]\frac{d}{dx}(ln |x + \sqrt{x^2+1}|) = \left( \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}}\right)\left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \left( \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}}\right) \left( \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}[/tex]

Vi får da:
[tex]f\prime(x) = \frac{1}{2}\left( \frac{2x^2 + 1 }{\sqrt{x^2 +1}} + \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) = \sqrt{x^2 + 1}[/tex]

Hvis jeg gikk litt for fort fram her, eller noe er uklart, bare spør.

[*cathrine*]

Jeg tror dette var greit. Harde dager å begynne på nå etter ferien vet du. Får det til nå

Tusen takk, og god helg!

Klems