matematikk.net

Jeg skulle hatt hjelp til noe småtteri her:

1) Finne nullpunktene til f(x) = tan x/2 (Kan dere vise meg hvordan dette regnes ut?)

2) Skulle finne bruddpunktene til f(x)= tan 2x. Jeg fant at grafen har brudd i X= [pi][/pi]/4 og x=-3[pi][/pi]/4

Fasiten sier at grafen også skal ha brudd i de samme punktene med motsatt fortegn. Disse klarer jeg ikke å finne. Hvordan?

1)
Hvis du tegner grafen til tan(x/2) ser du at den har perioden 2pi. For å løse ut x fra denne likningen må vi benytte oss av at arctan(tan(x/2))=x/2. Dette gjelder dog kun hvis definisjonsområdet innskrenkes til et område hvor grafen kun går oppover eller kun nedover. Hvis vi ser på den delen av grafen som går gjennom origo (0), går denne fra -pi/2 til pi/2. Innenfor dette har altså tan(x/2) en invers funksjon fordi den er monoton. Likningen blir x/2=0. Løser vi denne blir x=0, og vi ser jo av grafen at innenfor det området vi definerte, så er 0 den eneste løsningen.

2)
Hvis du skriver om tan 2x til (2tan x) / (1-tan[sup]2[/sup]x) vil du finne bruddpunktene ved å løse 1-tan[sup]2[/sup]x = 0. Tan(2x) har en periode som er halvparten av tan(x), altså pi/2, derfor vil vil du finne et nytt bruddpunkt for hver pi/2. Grafen er uendelig, derfor vil alle bruddpunktene du finner være riktige både for negative og positive verdier.

nullepunktene og bruddpunkter til tan(x) sees lett fra definisjonen:

tan(x) = sin(x)/cos(x) = 0 ---> sin(x) = 0 ---> x = n*[pi][/pi] der n er et helt tall.

bruddpunkter når cos(x) = 0 siden dette gjør at brøken sin(x)/cos(x) = (noe som ikke er null) / 0. Altså x = ([pi][/pi]/2) + n*[pi][/pi][pi]