Vektoroppgave - privatisteksamen 2005

[tosken]

Vi har gitt punkta A(0,0,0), B(2,1,2), C(1,2,2) og D(2,2,1).

a) Finn AB og AC. Vis at AD står normalt på planet gjennom punkta A, B og C.

b) Finn vinkelen mellom AB og AC. Bruk dette til å bestemme volumet av pyramiden ABCD.

c) Finn ei likning for planet a gjennom punkta A, B og C.

Ei linje l er gitt ved parameterframstillinga

x = -1 - 2t

y = 7 + 5t

z = 9 + 7t

d) Undersøk om nokon av punkta B eller C ligg på linja l.
Eit punkt E ligg på l og er bestemt ved at t = 2

e) Finn avstanden frå E til planet α


Noen mattekyndige som kan se litt på denne. Skal snart opp til eksamen ...

[tosken]

La meg i alle fall prøve

AB = [2-0, 1-0, 2-0] = [2,1,2]

AC = [1-0, 2-0, 2-0] = [1,2,2]

Kan vi finne at de står normalt på hverandre ved hjelp av kryssprodukt?


AB * AC = 0 ?

[tosken]

Det vil gi normalvektoren?

A X B = -2I - 2J + 3K

[pevik]

AB * AC = -2I - 2J + 3K

Ut frå koordinatane til normalvektoren ser vi at vi kan skrive likninga for a som

a: -2x - 2y + 3z + d = 0

Punktet A = (0,0,0) ligg i planet, og derfor skal koordinatane til punktet høve i planlikninga. Me set inn desse koordinatane og finn d:

-2 * 0 - 2 * 0 + 3 * 0 + d = 0

d = 0

Likninga vert difor

-2x-2y + 3z = 0


AD = [2,2,1]

AD * [-2,-2,3] = 8I - 8J + 0K

[pevik]

e) Er vel berre å nytte avstandsformelen?

[Magnus]

Kan skissere et løsningsforslag til deg, begynner å bli seint.

Du kjenner normalvektoren til plant. Ettersom avstanden fra et punkt til et plan er definert som korteste avstanden, må den rette linja fra punktet som står vinkelrett på planet være motsatt rettet/parallell med normalvektoren til planet.(Kommer litt ann på hvilken normalvektorer man betrakter. Et plan vil jo alltid ha to normalvektorer, som er motsatt rettet). (Litt dårlig formulert.)

Så kan du finne en parametrisering for den rette linja som går gjennom punktet E og som står vinkelrett på planet. Setter inn i planets x,y,z-verdier med de parametriserte verdiene dine. Løser for t, og bestemmer enkelt x,y,z. Etter det er det bare enkel vektorregning.

[pevik]

e)

Planet er:

AC * AB = [-2,-2,3]

a: -2x - 2y + 3z = 0

Finn punktet e:

(-5,17,23)

q = (-2 * (-5) - 2 * 17 + 3 * 23) / [symbol:rot] 2^2 + 2^2 + 3^2

= 45/ [symbol:rot] 17

Det er avstanden?

[pevik]

d)

Setter inn for a:

(-5,10,25)

for B:

(-5,10,25) dvs. (-1,2,5)

og for

C:

(-5,10,23)

Trur ikkje at nokon av desse passar inn i likninga l:

[pevik]

a)

Normalvektor:

AB * n (AD) = 2 * 2 + 1 * 2 + 2 * 1 = 5 (dvs. ikkje 0?))

AC * n (AD) =