En funksjon med periode T=2 er beskrevet med 1-x når x går fra og med 0 til 1, og med -1-x når x går fra og med -1 til 0. Jeg skal finne Fourierrekken. Grafen sier meg at det er en odde funksjon, derfor blir rekken en ren sinus-rekke.
b[sub]n[/sub] = [itgl][/itgl]f(x)*sin(n*w*x)dx fra -T/2 til T/2.
Setter jeg inn verdiene får jeg [itgl][/itgl](1-x)*sin(n*pi*x)dx fra -2/2 til 2/2. Grensene flyttes til et område hvor jeg har et funksjonsuttrykk slik at de nye grensene blir fra 0 til 1. Ganger deretter hele integralet med 2 siden grensene ble flyttet, noe jeg kan gjøre siden f(x)*sin(n*pi*x) tilsynelatende skal være en like funksjon, noe jeg ikke får det til å bli! (1-x)*sin(n*pi*x) er jo ingen like funksjon?? Skjønner lite her...hjelp!
Fourier-rekke
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Det du kaller "f" er det (1-x)? For det får jeg til å bli verken like eller odde, stemmer ikke det? Eller er "f" hele funksjonsuttrykket, altså både (-1-x) og (1-x)? En odde funksjon skal jo være symmetrisk om origo skal den ikke? Og det er jo verken 1-x eller -1-x. Hvis jeg tegner begge to i koord.syst. så blir de jo det men...er jeg inne på det her? 
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
f er den funksjonen du beskrev i første linje, altså den som består av de to delene, og den er odde som du kan se av grafen og at f(-x) = -f(x). Eller så kan du jo godt gjøre det på den tungvinne måten:
b[sub]n[/sub] = [itgl]f(x)sin(n*pi*x)dx[/itgl] , integrer fra x=-1 til 1
Deler opp integralet:
b[sub]n[/sub] = [itgl](-1-x)*sin(n*pi*x)dx[/itgl] + [itgl](1-x)*sin(n*pi*x)dx[/itgl]
der det første integralet går fra -1 til 0 og det andre fra 0 til 1.
Regner du ut disse vil du se at disse blir like store, og du kan derfor sette
b[sub]n[/sub] = 2[itgl](1-x)*sin(n*pi*x)dx[/itgl]
der du integrerer fra 0 til 1.
b[sub]n[/sub] = [itgl]f(x)sin(n*pi*x)dx[/itgl] , integrer fra x=-1 til 1
Deler opp integralet:
b[sub]n[/sub] = [itgl](-1-x)*sin(n*pi*x)dx[/itgl] + [itgl](1-x)*sin(n*pi*x)dx[/itgl]
der det første integralet går fra -1 til 0 og det andre fra 0 til 1.
Regner du ut disse vil du se at disse blir like store, og du kan derfor sette
b[sub]n[/sub] = 2[itgl](1-x)*sin(n*pi*x)dx[/itgl]
der du integrerer fra 0 til 1.
Det klarer jeg ikke helt å se. Jeg tegner altså opp både -1-x og 1-x i koordinatsystemet? I så fall klarer jeg å se det, for da blir de to til sammen symmetriske om origo, altså odde. Stemmer det at de to delene hver for seg er verken odde eller like da? Kan jeg få tegnet denne grafen, slik at jeg kan "se" at f(x)*sin(n*pi*x) er en like funksjon, eller må jeg bare skjønne at det er tilfellet fordi produktet av to odde funksjoner blir en like funksjon?Bernoulli skrev:f er den funksjonen du beskrev i første linje, altså den som består av de to delene, og den er odde som du kan se av grafen
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
Definisjonen av en odde funksjon er f(-x) = -f(x), og en like funksjon er f(-x) = f(x). Du har
.... . -1-x , -1<x<0
f(x) = 1-x , 0<x<1
(du skjønner sikkert hva jeg mener når jeg skriver f på denne måten, fant dessverre ikke noen bedre måte å gjøre det på)
Anta nå at x er mellom 0 og 1 (altså positiv). Da er -x negativ og du har
f(-x) = -1 - (-x) = -1+x = -(1-x) = -f(x)
så f er en odde funksjon. På samme måte har du at sin x er odde, fordi
sin(-x) = -sin(x).
Da vil f(x)*sin(x) være en like funksjon fordi
f(-x)*sin(-x) = f(x)*sin(x).
.... . -1-x , -1<x<0
f(x) = 1-x , 0<x<1
(du skjønner sikkert hva jeg mener når jeg skriver f på denne måten, fant dessverre ikke noen bedre måte å gjøre det på)
Anta nå at x er mellom 0 og 1 (altså positiv). Da er -x negativ og du har
f(-x) = -1 - (-x) = -1+x = -(1-x) = -f(x)
så f er en odde funksjon. På samme måte har du at sin x er odde, fordi
sin(-x) = -sin(x).
Da vil f(x)*sin(x) være en like funksjon fordi
f(-x)*sin(-x) = f(x)*sin(x).
Hvor kommer minus-tegnet foran ettallet helt i starten der fra? Det gjelder jo kun når x er mellom -1 og 0 ?Bernoulli skrev:Anta nå at x er mellom 0 og 1 (altså positiv). Da er -x negativ og du har f(-x) = -1 - (-x) = -1+x = -(1-x) = -f(x)
Linjene 1-x og -1-x er jo symmetriske om origo. Er dette i seg selv nok til å hevde at f er en odde funksjon? Beklager at jeg maser her, men jeg venter bare på det forløsende øyeblikket...
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
Du må huske på hvordan du selv har definert funskjonen f(x). Tegner du inn f i et koordinatsystem så er den -1-x når x er mellom -1 og 0, og 1-x når x er mellom 0 og 1. Siden den (hele f altså, i intervallet -1 til 1) er symmetrisk om origo som du selv sier, så er f odde. Men å trekke slike konklusjoner ut ifra en tegning kan fort få deg ut i trøbbel. Det er bedre å bruke definisjonen, nemmelig at f er odde hvis f(-x) = -f(x).
Grunnen til at jeg begrenset x til intervallet 0 til 1 er at da er -x i intervallet -1 til 0. En annen måte er å si at for et negativt tall a mellom -1 til 0, så finnes det en positiv x slik at a = -x. Siden -x (minus x) er negativ så er
f(-x) = -1 - (-x) = -(1-x) = -f(x)
dvs f er altså odde.
Grunnen til at jeg begrenset x til intervallet 0 til 1 er at da er -x i intervallet -1 til 0. En annen måte er å si at for et negativt tall a mellom -1 til 0, så finnes det en positiv x slik at a = -x. Siden -x (minus x) er negativ så er
f(-x) = -1 - (-x) = -(1-x) = -f(x)
dvs f er altså odde.
Du setter her inn -x i uttrykket -1-x, som gjelder fra -1 til 0. Ikke sant? Da finner du jo ut at -1-x er en odde funksjon. Greit nok, men det betyr da ikke at hele f(x) er en odde funksjon, gjør det vel?Bernoulli skrev:f(-x) = -1 - (-x) = -(1-x) = -f(x)
Skjønner ingenting...
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
Du bør kikke litt nøyere på det sitatet du skrev inn, men jeg skjønner det er lett å gå vill i notasjonen. La meg skrive det på en annen måte:
La a være et positivt tall mellom 0 og 1. Da er -a et negativt tall mellom -1 og 0. Hva blir da f(-a)? Jo siden -a er et negativt tall mellom -1 og 0 må vi bruke uttrykket -1-x med x = -a, dvs
f(-a) = -1 - (-a)
Ordner vi opp i uttrykket får vi
f(-a) = -1 + a = -(1-a)
Hva om vi ser på verdien av f(a), altså for a mellom 0 og 1. Da må vi bruke uttrykket 1-x, med x=a, siden a er positiv. Vi får
f(a) = 1 - a
Ser du noen likheter mellom f(a) og f(-a). Jo vi har f(-a) = -f(a) og f er derfor en odde funksjon.
Merk at det er ikke -1-x eller 1-x som er odde, men funksjonen f(x) som du har definert. Saken er at f er definert ulikt for ulike intervaller for x og det er vel det som gjør at ting går litt i surr.
Bare for å ta et eksempel: La oss si du har en funksjon g(x) = |x| for x mellom -1 og 1. En annen måte å skrive g på er å gjøre som med f ovenfor, nemmelig
g(x) = -x for x mellom -1 til 0
g(x) = x for x mellom 0 og 1
Kanskje du kan si meg om denne funksjonen er like eller odde?
Det er nok ikke så dumt å kunne dette, da dette som regel er en gjenganger på eksamen.
La a være et positivt tall mellom 0 og 1. Da er -a et negativt tall mellom -1 og 0. Hva blir da f(-a)? Jo siden -a er et negativt tall mellom -1 og 0 må vi bruke uttrykket -1-x med x = -a, dvs
f(-a) = -1 - (-a)
Ordner vi opp i uttrykket får vi
f(-a) = -1 + a = -(1-a)
Hva om vi ser på verdien av f(a), altså for a mellom 0 og 1. Da må vi bruke uttrykket 1-x, med x=a, siden a er positiv. Vi får
f(a) = 1 - a
Ser du noen likheter mellom f(a) og f(-a). Jo vi har f(-a) = -f(a) og f er derfor en odde funksjon.
Merk at det er ikke -1-x eller 1-x som er odde, men funksjonen f(x) som du har definert. Saken er at f er definert ulikt for ulike intervaller for x og det er vel det som gjør at ting går litt i surr.
Bare for å ta et eksempel: La oss si du har en funksjon g(x) = |x| for x mellom -1 og 1. En annen måte å skrive g på er å gjøre som med f ovenfor, nemmelig
g(x) = -x for x mellom -1 til 0
g(x) = x for x mellom 0 og 1
Kanskje du kan si meg om denne funksjonen er like eller odde?
Det er nok ikke så dumt å kunne dette, da dette som regel er en gjenganger på eksamen.
Oppgaven din blir vel en like funksjon? Hvis jeg prøver meg med definisjonen; f(-x)=-(-x)=x=f(x) Ble det riktig?
Hva med denne her da; en funksjon er fra og med -pi til 0 definert som pi, og fra og med 0 til pi definert som x. Hvis jeg bruker definisjonen så skal jeg gjøre følgende:
f(-x) = pi. (det er jo ingenting å sette x'en inn i) Hva blir konklusjonen her...?
Hva med denne her da; en funksjon er fra og med -pi til 0 definert som pi, og fra og med 0 til pi definert som x. Hvis jeg bruker definisjonen så skal jeg gjøre følgende:
f(-x) = pi. (det er jo ingenting å sette x'en inn i) Hva blir konklusjonen her...?
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
g blir en like funksjon ja, for
g(-x) = |-x| = |x| = g(x)
Merk at det å dele opp en funksjon har forsåvidt ingen ting å gjøre med om funksjonen er like eller odde.
Du kan jo feks tegne opp den funksjonen du nettop skrev opp, den er tydeligvis verken like eller odde.
Det finnes drøssevis av eksempler på like og odde funksjoner, feks
sin(x), cos(x), tan(x), x, 1, x[sup]2[/sup], x[sup]n[/sup], 1 - x[sup]2[/sup], osv osv...
Samme når du slår sammen like og odde funksjoner. Feks tan(x).
tan(-x) = sin(-x)/cos(-x) , bruk at sin er odde og cos er like
tan(-x) = -sin(x)/cos(x)
tan(-x) = -tan(x) så tan er altså en odde funksjon.
g(-x) = |-x| = |x| = g(x)
Merk at det å dele opp en funksjon har forsåvidt ingen ting å gjøre med om funksjonen er like eller odde.
Du kan jo feks tegne opp den funksjonen du nettop skrev opp, den er tydeligvis verken like eller odde.
Det finnes drøssevis av eksempler på like og odde funksjoner, feks
sin(x), cos(x), tan(x), x, 1, x[sup]2[/sup], x[sup]n[/sup], 1 - x[sup]2[/sup], osv osv...
Samme når du slår sammen like og odde funksjoner. Feks tan(x).
tan(-x) = sin(-x)/cos(-x) , bruk at sin er odde og cos er like
tan(-x) = -sin(x)/cos(x)
tan(-x) = -tan(x) så tan er altså en odde funksjon.
Hvordan vil du skrive det hvis du skal bruke definisjonen for å finne ut at min siste funksjon er verken like eller odde? Var min måte riktig?
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
La x være positiv og mindre en pi (vet du hvorfor jeg begrenser x på denne måten?), og la != bety ulik. Da har vi (siden -x er negativ):
f(-x) = pi , f(x) = x
Du kan se at disse er like bare for x=pi, men det har ingen ting å si. Hvis funksjonen er like eller odde må jeg kunne skrive den på formen
f(-x) = (-1)[sup]k[/sup]f(x) med k={0,1} for alle x i intervallet der f er definert.
Siden pi != (-1)[sup]k[/sup]x for alle x unntatt x=pi, så er funksjonen verken odde eller like.
Bare si i fra hvis noe er uklart.
f(-x) = pi , f(x) = x
Du kan se at disse er like bare for x=pi, men det har ingen ting å si. Hvis funksjonen er like eller odde må jeg kunne skrive den på formen
f(-x) = (-1)[sup]k[/sup]f(x) med k={0,1} for alle x i intervallet der f er definert.
Siden pi != (-1)[sup]k[/sup]x for alle x unntatt x=pi, så er funksjonen verken odde eller like.
Bare si i fra hvis noe er uklart.
Dreier seg fortsatt om Fourier-rekker, men nå en annen del av det; integralet (1/pi)*[itgl][/itgl]cos(nx)dx fra 0 til pi skal tilsynelatende bli (1/pi)*(1/n)*(0-0) = 0.
Dette får jeg ikke til å stemme, ikke med kalkulator engang...har du en forklaring?
Dette får jeg ikke til å stemme, ikke med kalkulator engang...har du en forklaring?
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"