Trigonometriske likninger

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
halten
Maskinmester
Maskinmester
Innlegg: 111
Registrert: 16/02-2005 05:13
Sted: Trondheim

Lurer på den fulle løsningen av likningen:

cos² x = 2 cos x sin x

Har søkt i databasen. Under oppslagslisten på trigonometriske likninger står denne formelen:

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = d

Her må konstantleddet skrives om : d = d·1 =d(sin² x + cos² x). Ligningen løses nå som beskrevet i punktet over.


Punktet over er:

a sin² x + b sin x cos x + c cos² x = 0

Løses ved å dividere begge sider av likhetstegnet med cos² x


Disse vil da gi en likning med tan² x som kunne bli løst med andregradsformelen, men det fungerer ikke på likningen jeg skrev i starten av innlegget. Jeg mister to svar i prosessen. Her er problemlikningen, og mitt forsøk på å løse den:

cos² x=2 cos x sin x

[cos² x + sin² x = 1] Skriver om cos² x til 1 - sin² x:

1 - sin² x = 2 cos x sin x

Flytter over og skriver om 1 til cos² x + sin² x:

-sin² x - 2 cos x sin x + cos² x + sin² x = 0

Deler alle ledd på cos² x:

-tan² x - 2 tan x + 1 + tan² x = 0

Hvis jeg trekker sammen dette, får jeg:

-2 tan x = -1

tan x = 0,5

x = 26,6 V x = 26,6+180 = 206,6

Ved symmetri på enhetssirkelen får jeg 206,6, men også 90 og 270
er løsninger på denne oppgaven.

Som dere ser, får jeg ikke et andregradsuttrykk siden tan² x forsvinner.

Noen som er gode på trigonometri her? :)
sletvik
Guru
Guru
Innlegg: 375
Registrert: 31/08-2003 04:34
Sted: Trondheim

Du kan komme fram til 1/2=tan(x) mye kjappere enn som så; du kan bare dele på cos[sup]2[/sup](x) med én gang så får du 1=2*tan(x) som blir 1/2=tan(x). Hvis du nå tar invers tangens til 1/2 får du 26,6 som du selv fikk. Nå kan du jo bare trekke fra eller legge til pi (som er perioden til tangens) og finne så mange løsninger du vil. De to løsningene du ikke finner er bruddpunkter. Disse vil du kunne finne ved å skrive om (1/2)=tan(x) til (1/2)=sin(x)/cos(x) og deretter sette nevneren lik 0, altså løse likningen cos(x)=0. Da vil du finne de løsningene du mangler. :D
"Those of you who think you know everything are annoying to those of us who do!"
halten
Maskinmester
Maskinmester
Innlegg: 111
Registrert: 16/02-2005 05:13
Sted: Trondheim

Takk :D
Svar