Når rekker konvergerer...

[Gjest]

Har 2 spørsmål vedrørende rekker

1)
En Web-side har mistet litt popularitet. I uke 8 er det 40000 treff. og de neste ukene minker antall treff med 400 per uke i gjennomsnitt

a) Lag en formel for antall treff i uke n

b) Regn ut i hvilken uke det sammenlagte antall treff fra og med uke 8 passerer 400 000

2)
Finnes det en generell algoritme for å gå frem ved å vise at a(k)= 1/k -1/(k+1) er ekvivalent med S(n)= 1-1/(n+1) ?? Vær så vennlig og forklar.. (Jeg ser at rekken konvergerer mot 1, men jeg ønsker å vite hvordan jeg kan gjøre om dette, slik at jeg kan oppdage dette raskere, slik som eks a(k)...
Jeg har ikke no problem med feks:

s(n) =(n^2-1)/(n+1) siden dette er ekvivalent med (n-1)(n+1)/(n+1).. her er det lett og se at krekken konvergerer mot -1 når n går mot uendelig


på forhånd takk ))

Gab

[Kent]

1
a)
I slike rekkeoppgaver er det ofte lurt å skrive opp for uke 8, uke 9, uke 10 osv frem til det blir klart hvordan utviklingen fortsetter. (Forutsatt at det ikke er svært klart hvilket uttrykk du skal benytte.

Uke 8: 40 000
Uke 9: 40 000 - 400 ({antall i uke 8} - 400)
Uke 10: (40 000 - 400) - 400 = 40 000 - 2(400) ({antall i uke 9} - 400 = {antall i uke 8} - 2(400))
Det fremtrer her et klart mønster som ser slik ut:
40 000 - n(400)
Problemet er er at vi starter i uke 8. I uke 8 skal n være lik 0 samtidig som n står for ukenr. Uke 8 blir da den relative uke 0. Retter formelen til:
{antall treff i uke n} = 40 000 - (n-8)(400) , n>8.
Har lagt til betingelsen n>8 ettersom oppgaven ikke sier noe om antall treff i ukene før uke 8.

b)
Her må det lages en formel for summen av antall treff fra uke 8 til uke n.
{treff i uke 8} + {treff i uke 9} + ... + {treff i uke n-1} + {treff i uke n} =
Sum(40 000 - (n-8)(400)) {fra n=8 til n} = Sum(43 200 - 400n). Dette er en aritmetisk rekke. Du vet sikkert at summen av en geometrisk rekke fra 1 til n er gitt ved S.[sub]n[/sub]=(1/2)n(a[sub]1[/sub]+a[sub]n[/sub]). Vi lar n=k+7 og tar summen fra k=1 til k i stedet for fra n=8 til n.
Sum(40 000 - (n-8)(400)) {fra n=8 til n}=Sum(40 000 - (k+7-8)(400)){k=1 til k}=Sum(40 400 - k)=(1/2)k(a[sub]8[/sub]+a[sub]k+7[/sub])=
(1/2)k(40000+40000-400(k-1))=400 000
k(40000+40000-400(k-1))=800 000
k(80000+400-400k)=80400k-400k[sup]2[/sup]=800 000
-400k[sup]2[/sup]+80400k-800000=0
Løses ved hjelp av annengradsligningen og du får ca. 10,5 og 190,5.

2)
La a[sub]n[/sub] være ledd n og S[sub]n[/sub] være summen fra n=1 til n. Jeg antar at jeg forstår notasjonen din riktig, selv om jeg velger en annen notasjon.
a[sub]n[/sub]=(1/n) - (1/(n+1))=1/(n(n+1))
Vi skriver så ut summen:
S[sub]n[/sub]=(1/(1*2))+(1/(2*3))+ ... +(1/((n-1)(n)))+(1/(n(n+1)))=
1 - (1/2) + (1/2) - (1/3) + (1/3) ... + (1/(n-1)) - (1/n) + (1/n) - (1/(n+1))
Vi utnytter så vekslingen mellom + og - (f.eks. -(1/2)+(1/2)=0) og får:
S[sub]n[/sub]=1 - (1/(n+1))
En slik serie kalles en teleskoperende serie. Med mindre du blir bedt om å finne S[sub]n[/sub] kan du ta sammenhengen for gitt og bruke fritt.
P.S. Det ble litt mange paranteser, men du ser det raskt hvis du skriver det på papir.[/sup]