Da har vi fått R-prøven tilbake allerede, og vedlagt lå et løsningsforslag som jeg tenkte jeg kunne poste her.
Orker dog ikke å tegne fortegnsskjema, så akkurat den biten, mellom faktorisering og løsning, hopper jeg over.
LØSNINGSFORSLAG R1 Kap 1 Algebra
Oppg. 1
[tex] \ \ P(x)=x^3+x^2-10x+8[/tex]
a) [tex]P(2)=2^3 + 2^2 - 10 \cdot 2 + 8 \ = \ 8+4-20+8 \ = \ \underline{\underline{0}}[/tex]
b) [tex]\ (x^3+x^2-10x+8) : (x-2)=\underline{x^2+3x-4}[/tex]
[tex]\ \ - \underline{(x^3-2x^2)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x^2-10x[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ - \underline{(3x^2-6x)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -4x+8[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - \underline{(-4x+8)}[/tex]
[tex]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0[/tex]
Setter x[sup]2[/sup]+3x-4=0
[tex]x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \ \Rightarrow[/tex]
[tex]\underline{\underline{x_1=-4}} \ \vee \ \underline{\underline{x_2=1}}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Nullpunkt: x=2, x=-4 og x=1}}}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Faktorisering: P(x)=(x-2)(x+4)(x-1)}}}[/tex]
c) [tex]P(x) : (x+1)[/tex]
[tex]\ \ P(-1)=(-1)^3+(-1)^2-10(-1)+8 \ = \ -1+1+10+8 \ = \ \underline{18}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Resten er lik 18.}}}[/tex]
d) [tex]\frac{x^3+x^2-10x+8}{x^2-16} = \frac{(x-2)(x+4)(x-1)}{(x-4)(x+4)} = \frac{(x-2)(x+1)}{x-4} = \underline{\underline{\frac{x^2-3x+2}{x-4}}}[/tex]
e) [tex]\frac{x^3-ax^2+3ax+10}{x-2}=\frac{P(x)}{x-2}[/tex]
(Kan forkortes hvis
P(2)=0.
[tex]P(2)=2^3 - a \cdot 2^2 + 3 \cdot a \cdot 2 + 10 = 8-4a+6a+10 = 18+2a=0 \ \Rightarrow[/tex]
[tex]2a = -18 \ \Rightarrow \ \underline{\underline{a=-9}}[/tex]
Oppg. 2
a) 1)
[tex]-x^3+9x<0 \\ x(-x+9)<0 \\ x(9-x^2)<0 \\ x(3-x)(3+x)<0 \\ ... Fortegnsskjema ... \\ -x^3+9x<0 \ for \ \underline{\underline{-3<x<0 \ og \ x>3}} \\ evt. \ \underline{\underline{x \in \left\langle -3, \ 0 \right\rangle \ og \ x \in \left\langle 3, \ \rightarrow\right\rangle[/tex]
a) 2)
[tex]\frac{2x^2-x}{x+5} < 0 \Rightarrow \frac{x(2x-1)}{x+5} < 0 \\ ... Fortegnsskjema ... \\ \frac{2x^2-x}{x+5} < 0 \ for \ \underline{\underline{0<x<\frac12 \ og \ x<-5}} \\ evt. \ \underline{\underline{x \in \left\langle \leftarrow, \ -5 \right\rangle \ og \ x \in \left\langle 0, \ \frac12 \right\rangle[/tex]
b)
[tex]\frac{x}{x-4} - \frac5x = \frac{16}{x^2-4x} \\ x \neq 0 \ og \ x \neq 4 \\ \frac{x}{x-4} - \frac5x = \frac{16}{x(x-4)} \ \ \ F.N.=x(x-4) \\ \frac{x}{x-4} \cdot x(x-4) - \frac5x \cdot x(x-4) = \frac{16}{x(x-4)} \cdot x(x-4) \\ x^2 - 5(x-4) = 16 \\ x^2-5x+20=16 \\ x^2-5x+4=0 \\ \ \\ x=\frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2} \ \Rightarrow \\ x=\frac82=\underline{4} \ eller \ x=\frac22=\underline{1} \\ \underline{\underline{\text{Kun x=1 kan brukes som losning}}}[/tex]
c)
[tex]\frac{x+4}{2x-1} > 2 \ \Rightarrow \ \frac{x+4}{2x-1} - \frac{2(2x-1)}{2x-1}>0 \ \Rightarrow \ \frac{x+4-4x+2}{2x-1}>0 \ \Rightarrow \\ \frac{-3x+6}{2x-1}>0 \ \Rightarrow \ \frac{3(-x+2)}{2x-1}>0 \ \Rightarrow \ \frac{3(2-x)}{2x-1}>0 \\ \underline{\underline{\text{Som skulle vises.}}}[/tex]
d)
[tex]\frac{x+4}{2x-1}>2 \ \Rightarrow \ \frac{3(2-x)}{2x-1}>0 \\ ... Fortegnsskjema ... \\ \underline{\underline{\frac{x+4}{2x-1}>2 \ for \ \frac12<x<2 \ \ (evt. \ x \in \left\langle \frac12, \ 2 \right\rangle)}}[/tex]
Oppg. 3
a) 1)
[tex]2x^2=50 \ \Leftarrow \ x=5 \\ x^2=25 \\ x= \pm \sqrt{25} \\ x= \pm 5[/tex]
a) 2)
[tex]x=2 \ \vee \ x=-1 \ \Leftrightarrow \ 2x^2 - 2x=4 \\ x^2 - x = 2 \\ x^2-x-2=0 \\ Loser \ pa \ kalkulator \\ x=2 \vee x=-1[/tex]
b) Vis at:
x er et heltall [tex]\Rightarrow[/tex]
x[sup]2[/sup]+
x er et partall
x[sup]2[/sup]+
x=
x(
x+1)
x er et heltall
[tex]\Rightarrow[/tex] enten er
x et partall, eller er
x+1 et partall
[tex]\Rightarrow[/tex] en av faktorene i x[sup]2[/sup]+x er partall
[tex]\Rightarrow[/tex] x[sup]2[/sup]+x er partall.
Q.E.D.
PUUH, tok lengre tid enn jeg trodde. Men det var da kos