Ulikhet

[Ine88]

Hei! Trenger litt hint av hjelp til hvordan jeg skal gå fram for å løse denne ulikheten:

x+2
x-2 <(eller lik) 3

Skal 3-tallet flyttes over slik at det blir <(eller lik) 0?

[mathme]

[tex]\frac{x+2}{x-2} \le 3[/tex]


JA brøken skal være [tex]\le 0[/tex].

Så må du sørge for fellesnevner!

[Andreas345]

[tex]\frac{x+2}{x-2} \le 3[/tex]

[tex]\frac{x+2}{x-2}-3 \le 0[/tex]

[tex]\frac{x+2}{x-2}-3 \le 0 = \frac{x+2}{x-2}-\frac{3(x-2)}{x-2} \le 0[/tex]

Vi gjør altså 3 om til en brøk ved å gange med nevneren til den andre brøken både oppe og nede.

Da skulle det være 0 problem å løse oppgaven ved hjelp av fortegnslinjer

[daofeishi]

JA brøken skal være [tex]\le 0[/tex]

Neida, ikke hvis du passer på litt. Hvis du er som meg og ikke liker å tegne fortegnslinjer, kan du tenke slik:

[tex] \frac{x+2}{x-2} \leq 3[/tex]

Dersom [tex]x > 2[/tex], får vi når vi mult. med (x-2): [tex] x+2 \leq 3(x-2) \Rightarrow x \geq 4[/tex]

Dersom [tex]x < 2[/tex], får vi når vi mult. med (x-2): [tex]x+2 \geq 3(x-2) \Rightarrow x \leq 4[/tex]

Svaret følger direkte, bare pass på implikasjonene. Det vi har vist er at:
1) Hvis x > 2, må [tex]x \geq 4[/tex] (Tilfredsstilt for [tex]x \geq 4[/tex])
2) Hvis x < 2, må [tex]x \leq 4[/tex] (Tilfredsstilt for [tex]x < 2[/tex])

[Ine88]

Hva skal jeg gjøre videre når jeg har fått:

x+2 3(x-2)
x-2 - x-2 < 0

Hva må jeg regne videre før jeg kan tegne fortegnslinje? Takk for hjelp!

[2357]

[tex]\frac{x+2-3(x-2)}{x-2}\le0[/tex]

[tex]\frac{x+2-3x+6}{x-2}\le0[/tex]

[tex]\frac{-2x+8}{x-2}\le0[/tex]

[Ine88]

Har regnet ferdig ut nå,

er riktig svar 2>x>4 ?

[Thales]

Daofeishi skrev jo svaret før vis jeg ikke tar feil...

[...]
Svaret følger direkte, bare pass på implikasjonene. Det vi har vist er at:
1) Hvis x > 2, må [tex]x \geq 4[/tex] (Tilfredsstilt for [tex]x \geq 4[/tex])
2) Hvis x < 2, må [tex]x \leq 4[/tex] (Tilfredsstilt for [tex]x < 2[/tex])

[Ine88]

Men jeg tegnet fortegnslinjen. Når jeg tegner fortegnslinjen får jeg at x er negativ når den er mindre enn 2 eller større enn 4. Hvordan kan jeg få to ulike svar da?

[daofeishi]

Det stemmer at svaret er [tex]x < 2 [/tex] eller [tex]x \geq 4[/tex]. En ulikhet kan stemme i flere regioner. Hvis vi tegner grafen, så ser du kanskje hvorfor svaret er som det er:



Den stiplede linjen er y = 3. Som du ser ligger (x+2)/(x-2) under denne linjen for x-verdiene du har funnet.

[Ine88]

Jeg skjønner ikke helt dette her:


Svaret følger direkte, bare pass på implikasjonene. Det vi har vist er at:
1) Hvis x > 2, må (Tilfredsstilt for )
2) Hvis x < 2, må (Tilfredsstilt for )

Hvordan kan man si at "hvis x < 2" og "hvis x > 2"?

[daofeishi]

Du ønsker å finne ut for hvilke x-verdier
[tex]\frac{x+2}{x-2} \leq 3[/tex]
stemmer.

Vi vet at hvis (x-2) < 0, altså hvis x < 2, så er nevneren et negativt tall. Hvis du multipliserer med et negativt tall på begge sider av en ulikhet, må du snu ulikheten. Så hvis x < 2, så kan vi gange med (x-2) på hver side, og få:

[tex]x+2 \geq 3(x-2)[/tex], som gir oss at [tex]x \leq 4[/tex]
Dette betyr at hvis x < 2 så stemmer ulikheten for alle x mindre enn eller lik 4. Siden dette skjer for alle x < 2, er første løsning x < 2.

Liknende tankegang dersom (x-2) > 0. Hvis du multipliserer med (x-2) på hver side da, slipper du å snu ulikheten, siden x-2 er et positivt tall.

[arildno]

En alternativ måte å si det daofeishi har sagt, er at vi kan splitte opp en ulikhet som unionen av et par ulikhets systemer:
I. Ulikhetssystem 1:
[tex]\frac{x+2}{x-2}\leq{3}[/tex] OG [tex]x\geq{0}[/tex]

II. Ulikhetssystem 2:
[tex]\frac{x+2}{x-2}\leq{3}[/tex] OG [tex]x\leq{0}[/tex]

Løsningen av HELE systemet er unionen av løsningene til begge de to ulikhetssystemene.