Dobbel derivering og faktorisering

[dagfinn]

Blir gal, logikken min svikter helt.

Se på dette. Funksjonen er gitt ved

f(x)=-2x^4+4x^3 x<2
f(x)=3x^2-18x+24 x>=2

1. Bestem nullpunkt til funksjonen
2. Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i x=2
3. Regn ut f'(x) for x=(med strek over likhetstegn) 2, undersøk om funksjonen er deriverbar i x=2
4. Bestem eventuelle top/bunpunkt på f.
5 Bestem evt. vendepunkt til grafen, finn ligning for vendetangentene.
6. Tegn grafen med vendetangenter, bruk 2cm som enhet på førsteaksen og 1cm på andreaksen.

OK

Her vil jeg derivere og dobbelderivere for å finne nullpunkt, om det er brudd på x=2, og finne eventuelle toppunkt/bunnpunkt.

Jeg kommer til f''(x)=-24^2+24x og her stopper det...
Her skal jeg vel faktorisere, men kan vel forenkle litt først? Er det lov? Eller er jeg på jordet nå?

Dagfinn

[Kent]

Husk at begge uttrykkene for f(x) utgjør én funksjon. Uttrykkene definerer funksjonen på hvert sitt intervall. Alt du gjør skal gjøres parallelt for begge uttrykkene.

1. Nullpunktene til en funksjon er de x-verdiene hvor f(x)=0, altså punktene (x,0). For å finne dette settes uttrykkene for f(x)=0 og deretter faktorisere.

2. Funksjonen er kontinuerlig i x=2 hvis lim[sub]x->2-[/sub]f(x)=lim[sub]x->2+[/sub]f(x). Egentlig setter du bare x=2 i hvert uttrykk og ser om du får det samme, men husk "lim".

3. Deriver uttrykkene. Den deriverte av funksjonen består fremdeles av to uttrykk. Funksjonen er deriverbar i x=2 hvis lim[sub]x->2-[/sub]f(x)=lim[sub]x->2+[/sub]f(x).

4. Sett opp et fortegnsskjema som viser hvor den deriverte av funksjonen er 0, positiv og negativ. Der funksjonen går fra å være positiv til 0 til negativ har du et toppunkt. Tilsvarende for bunnpunkt. De x-verdiene du får her setter du inn i den opprinnelige funksjonen og regner ut f(x) for de verdiene.

5. Grafen har et vedepunkt der den dobbeltderiverte går fra negativ/positiv til 0 til positiv/negativ. Regn ut f(x) ved å sette inn x-verdiene du finner her inn i uttrykkene for f(x) Stigningstallet i disse punktene finner du ved å ved å sette de x-verdiene hvor funksjonen har et vendepunkt inn i uttrykkene for den deriverte av funksjonen. Sett så stigningstallet og x- og f(x)-verdiene hvor funksjonen har et vendepunkt inn i formelen for en rett linje.

6. På tegningen markerer du den informasjonen du har funnet hittil.

[dagfinn]

Jeg finner vel 0 punktene ved å derviere første linjen i funksjonen to ganger og så faktorisere?

Må jeg da derivere 2. linjen i funksjonen like mange ganger og så sitte igjen med en konstant.

Eller skal jeg bruke pascals trekant og faktorisere fjerdegradsligningen direkte.

Får x1=1 og x2=0 i første funksjonslinjen.

Jeg regner med at faktorene av begge linjene skal inn på fortegnsskjemaet.

Det går sakte dette...



Dagfinn

[Kent]

Jeg finner vel 0 punktene ved å derviere første linjen i funksjonen to ganger og så faktorisere?

Nei.

Jeg regner med at faktorene av begge linjene skal inn på fortegnsskjemaet.

Ja.

[dagfinn]

Ok, da har jeg det sann noen lunde....

Har funnet alle 0 verdiene både for funksjonen og den deriverte.

Jeg har ikke noen eksempel på 2 paralelle funksjoner i mine bøker, så jeg blir vel litt "blind".

Regner med at derivasjonen også må gå parallelt (jada...), så om jeg dobbelderiverer første linje så må andre linje reduseres til en konstant.

Skal ikke utrykket deriveres i punkt 2?
Punkt 2 og 3 er litt uklare for meg. Men finner nok ut av det.

De små grå begynner å bevege seg litt....



Dagfinn

[Kent]

Regner med at derivasjonen også må gå parallelt (jada...), så om jeg dobbelderiverer første linje så må andre linje reduseres til en konstant.

Det stemmer. Det betyr bare at fra x=2 er endringen til stigningstallet konstant, mens det varierer frem til 2

Skal ikke utrykket deriveres i punkt 2?
Punkt 2 og 3 er litt uklare for meg. Men finner nok ut av det.

Definisjon på kontinuerlig funksjon:
lim[sub]x->a-[/sub]f(x)=lim[sub]x->a+[/sub]f(x)
Er dette kravet oppfylt er funksjonen kontinuerlig i punktet a.

Definisjon på deriverbarhet:
lim[sub]x->a-[/sub]f'(x)=lim[sub]x->a+[/sub]f'(x)
Er dette kravet oppfylt er funksjonen deriverbar i punktet a.
P.S. på dette punktet skrev jeg feil i mitt første innlegg. Under punkt 3 skulle det stå f'(x) IKKE f(x).

Ingen vits i å gjøre det vanskeligere enn nødvendig.

Bare spør hvis det er noe som er uklart.

[dagfinn]

---sitat
Definisjon på kontinuerlig funksjon:
limx->a-f(x)=limx->a+f(x)
Er dette kravet oppfylt er funksjonen kontinuerlig i punktet a.

Definisjon på deriverbarhet:
limx->a-f'(x)=limx->a+f'(x)
---sitat slutt

Det er merkelig at jeg ikke klarer å finne noe om dette i mine bøker, har bøker for 1mx og 2 mx. Ingenting om dette under derivasjon, integrering, funksjonsdrøfting. Leter jeg på gale steder? Kan det stå under et annet tema?

Er det mulig å få en litt mere "norsk" forklaring?

Jeg har allerede puslet med dette utrykket som er en og samme funksjon:
f(x)=-2x^4+4x^3 x<2
f(x)=3x^2-18x+24 x>=2

Siden jeg skal finne ut om den er kontinuerlig i x=2, skal jeg da sette det opp slik?

limx->+2 f(2)=-2(2)^4+4(2)^3 = limx->-2 f(-2)=-2(-2)^4+4(2)^3
limx->+2 f(2)=3(2)^2-18(2)+24 = limx->-2 f(-2)=3(-2)^2-18(-2)+24

(eller skal jeg putte ene f(x) inn den andre f(x)... for å si det litt vanskelig)

Og vist alt er likt så er den kontinuerlig? Og det blir vel naturligvis det samme for f'(x)...

Jeg maser sikkert om og om igjen, men jeg har problemer med å finne både noen å snakke med, og noe i bøkene mine som dekker dette...

Dagfinn

[dagfinn]

Kan nevne at jeg fant 1 (en) setning i boka der det står om brudd. Dette er i forbindelse med at nevneren er 0. Det blir vel også et brudd om man må multiplisere med 0. Er det kanskje dette som forklarer kontinutet, du kan se det på et fortegnsskjema?

(x-1)^2 får brudd på 1...

Dagfinn

[Kent]

Såvidt jeg kan huske blir ikke slike ting tatt opp i 1 MX, 2MX eller 3MX.

Hvis jeg begynner med litt notasjon:
lim[sub]x->a+[/sub]f(x)
betyr at vi lar variabelen x nærme seg den gitte konstanten a ovenfra. Hvis du tenker deg tallinjen så tilsvarer dette at vi lar x nærme seg a fra høyre. Vi spør om hva som skjer med funksjonen når x får en stadig mindre verdi frem til den blir nesten a. I boken din står sannsynligvis "x->a" under "lim".
For
lim[sub]x->a-[/sub]f(x) er det tilsvarende, bare at vi lar x få en stadig større verdi frem til den nesten er a.
Legg merke til at jeg a kan være en hvilken som helst konstant, både positiv og negativ. "a-" betyr ikke -a, men at jeg nærmer meg a nedentil (x blir større etter hvert). Tilsvarende, men motsatt for "a+".

Hva betyr det så i praksis at lim[sub]x->a-[/sub]f(x)=lim[sub]x->a+[/sub]f(x), altså at funksjonen er kontinuerlig?
Hvis du tegner et strek i et koordinatsystem uten å løfte pennen fra arket har du en kontinuerlig funksjon. Velg deg ett punkt på denne streken og kaller x-verdien til dette punktet for a. Hvis du så følger streken fra venstre mot a (lim[sub]x->a-[/sub]) og så leser av verdien for f(x) i a får du verdien L. Hvis du gjentar dette fra høyre får du fremdeles verdien L. Altså ser vi at den funksjonen du tegnet får samme verdi i a uansett hvilken vei du nærmer deg a. Da er funksjonen kontinuerlig. Er ikke funksjonen kontinuerlig får du ikke samme verdi L.

Hvis vi nå ser på eksemplet ditt.
limx->+2 f(2)=-2(2)^4+4(2)^3
Du skal her ikke ta med + foran 2, og heller ikke sette inn -2. (Legg merke til at jeg skrev - og + etter tallet.) Hvis du ser på oppgaven ser du også at dette uttrykket KUN er definert for x<2. Det vil si at vi her nærmer oss 2 nedentil. Da skal det stå:
limx->2- f(x)=-2(2)^4+4(2)^3 = 0
Så ser vi på det andre uttrykket:
limx->+2 f(2)=3(2)^2-18(2)+24
Dette er KUN definert for x>=2. Her nærmer vi oss altså 2 ovenfra. Da skal det stå:
limx->2+ f(x)=3(2)^2-18(2)+24 = 0
Her ser vi altså at 0=0 og funksjonen er derfor kontinuerlig.

La oss se på et annet eksempel:
f(x)=1/x
lim[sub]x->0-[/sub]f(x)=-uendelig.
Hvorfor? Fordi x blir mye mye mindre enn 1 funksjonens absoluttverdi blir altså svært stor (uendelig). Men samtidig så er tallet under brøkstreken negativt. Det blir derfor -uendelig.
lim[sub]x->0+[/sub]f(x)=uendelig.
Absoluttverdien her er uendelig av samme grunn som over, men funksjonen er her +uendelig ettersom det ikke er noe negativt tall i uttrykket. +uendelig er IKKE lik -uendelig. Denne funksjonen er IKKE kontinuerlig i x=0.

Spørsmålet om deriverbarhet løses på samme måte bare med f'(x). Dette fordi definisjonen på deriverbarhet innebærer at den deriverte av funksjonen MÅ være kontinuerlig i punktet.

Når nevneren er 0 heter det at funksjonen ikke er definert i det punktet. Det må du bare undersøke ved å sette nevneren lik 0 og passe på at du oppgir at funksjonen ikke er definert for slike x-verdier (også i fortegnsskjema). Det blir stort sett ikke brudd når du multipliserer med 0. Et fortegnsskjema viser som oftest ikke om en funksjon er kontinuerlig eller ikke, det må undersøkes ved hjelp av grenseverdier. ((x-1)^2 får ikke brudd ved x=1)

Si ifra hvis noe er uklart. Det kan være litt vanskelig å forklare dette uten figurer og jeg er ikke sikker på hvordan jeg får lagt inn slike.

[Kent]

Du er sikker mest vant med at det står
lim[sub]x->a[/sub]f(x)
uten noe + eller - etter a. Den grensen er bare definert hvis
lim[sub]x->a-[/sub]f(x)=lim[sub]x->a+[/sub]f(x)

Hvis lim[sub]x->c+[/sub]f(x)=f(c) er funksjonen høyrekontinuerlig.
Hvis lim[sub]x->c-[/sub]f(x)=f(c) er funksjonen venstrekontinuerlig.
En funksjon f kan være kontinuerlig på et venstre endepunkt c av definisjonsmengden hvis f er høyrekontinuerlig i c.
En funksjon f kan være kontinuerlig på et høyre endepunkt c av definisjonsmengden hvis f er venstrekontinuerlig i c.
En funksjon er kontinuerlig på et intervall I hvis den er kontinuerlig i hvert punkt på I.
Forstår du dette kan du det du trenger å vite om kontinuitet for funksjoner av en variabel.

Et svært enkelt eksempel på en funksjon som består av to uttrykk og ikke er kontinuerlig er:
f(x)=1 , 0<x<1
f(x)=2 , 1<x<2

[dagfinn]

Hmm, der tror jeg jaggu det satt, sann 99%

Får en det inn med tesje så går alt.

Takk takk takk

...men det er sikkert ikke siste spørsmålet mitt.

Dagfinn