Prøve Vektorregning - Sinus R1

[Realist1]

Tid: 2 skoletimer
Hjelpemidler: Lærebok og kalkulator (notater eller andre ark er ikke tillatt).
I alle oppgavene må du vise utregningene for å få full uttelling.

Oppgave 1
La [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] være to vektorer slik at [tex]\left|\vec a\right|=6[/tex] og [tex]\left|\vec b\right| = 3[/tex].
a) Finn [tex]\vec a \cdot \vec b[/tex] når vinkelen mellom vektorene er 135[sup]o[/sup].

b) Finn vinkelen mellom vektorene [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] når skalarproduktet [tex]\vec a \cdot \vec b = 9[/tex].

Oppgave 2
I [tex]\Delta ABC[/tex] har hjørnene koordinatene [tex]A(2, -1)[/tex], [tex]B(4, 1)[/tex] og [tex]C(3, 2)[/tex].
a) Finn [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex] ved regning.

b) Regn ut lengdene [tex]\vec{AB}[/tex] og [tex]\vec{AC}[/tex].

c) Regn ut [tex]\angle A[/tex] i trekanten.

d) Finn ved regning koordinatene til midtpunktet på siden [tex]AC[/tex].

e) Et punkt [tex]D(1, y)[/tex] har avstanden [tex]\sqrt{2}[/tex] fra punktet [tex]A[/tex]. Finn [tex]y[/tex].

Oppgave 3
a) Vi har gitt vektorene [tex]\vec a = \left[6, -15\right][/tex] og [tex]\vec b = \left[-2, 5\right][/tex]. Vis at vektorene er parallelle.

b) I [tex]\Delta ABC[/tex] setter vi [tex]\vec a = \vec{AB}[/tex] og [tex]\vec b = \vec{AC}[/tex]. La [tex]M[/tex] være midtpunktet på [tex]AC[/tex]. Punktet [tex]D[/tex] ligger på [tex]AB[/tex] og deler linjestykket [tex]AB[/tex] i forholdet [tex]2:3[/tex].
Punktet [tex]E[/tex] er bestemt ved at [tex]\vec{AE} = \vec a - \frac34\vec b[/tex].
(1)
Tegn en trekant [tex]ABC[/tex] og plasser punktene [tex]M[/tex], [tex]D[/tex] og [tex]E[/tex].
(2)
Vis ved vektorregning at punktene [tex]M[/tex], [tex]D[/tex] og [tex]E[/tex] ligger på linje.

Oppgave 4
Gitt punktene [tex]A(-1, 1)[/tex], [tex]B(3, -2)[/tex] og [tex]C(6, 2)[/tex].
a) Vis at [tex]\vec{AB} \perp \vec{BC}[/tex].

b) Finn ved regning koordinatene til et punkt [tex]D[/tex] slik at firkanten [tex]ABCD[/tex] blir et kvadrat.

c) Vis at diagonalene i kvadratet står vinkelrett på hverandre.

d) Linjen mellom [tex]A[/tex] og [tex]C[/tex] krysser [tex]y[/tex]-aksen i punktet [tex]E[/tex]. Finn koordinatene til punktet [tex]E[/tex] ved regning.

Oppgave 5
La vektorene [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] være slik at [tex]\left|\vec a\right|=2[/tex] og [tex]\left|\vec b\right|=3[/tex]. Vinkelen mellom vektorene er 120[sup]o[/sup]. Videre er [tex]\vec u = \vec a - \vec b[/tex] og [tex]\vec v = 2\vec a + \vec b[/tex].

a) Finn [tex]\vec a \cdot \vec b[/tex], [tex]\vec a^2[/tex] og [tex]\vec b^2[/tex].

b) Finn [tex]\vec u \cdot \vec v[/tex].

c) Finn [tex]\left|\vec u\right|[/tex] og [tex]\left|\vec v\right|[/tex].

d) Finn vinkelen mellom [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex].

[Gommle]

Tror jeg greide alt, men den siste var litt stress.

Er 72,2 grader det riktige svaret på 5d?

[Realist1]

Det er mulig. På prøven fikk jeg 88,8 grader, men det var skummelt nære 90 grader synes jeg. Utregning?

[Realist1]

Hvordan gjorde du 4d forresten? Garantert en lett oppgave, tror de fleste gjorde den, men jeg var blokkert. Skrev svaret [tex]E\left(0,\frac87\right)[/tex] men viste ingen utregning.

[Vektormannen]

Det stemmer, og du kan f.eks. kalle E for (0, y) som gir AE = [1, y-1]. Deretter bruker du bare at AE og AC er parallelle til å finne y.

Når det gjelder 5d så får jeg 82.6 grader.

edit: rekna det ut på nytt, ser ut som det stemmer med geogebra også.

[Gommle]

Jeg laget en parameterfremstilling for linjen og fant krysningspunktet med y-aksen. Det lærer du i kapittel 8 av Sinus-boken. Svaret er: [tex]E(-8, 0)[/tex]

Oppgave 5 blir litt vanskeligere å forklare.

På a fikk jeg [tex]\vec a \cdot \vec b = -3[/tex] og [tex]\vec a^2 = 4[/tex] og [tex]\vec b^2 = 9[/tex]

På b får jeg at [tex]\vec u \cdot \vec v = 2[/tex]

På c får jeg at [tex]|\vec u| = \sqrt 7[/tex] og at [tex]|\vec v| = \sqrt {37}[/tex]

På d tegner jeg opp vektorene med "halemetoden" og bruker geometri og cosinussetningen til å finne lengden på [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex]

Hvor lang får dere samme svar?

[Vektormannen]

På d) kan du vel bare bruke at [tex]\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}\right)[/tex]. Jeg får forresten [tex]\sqrt{19}[/tex] og [tex]\sqrt{13}[/tex] som lenger på henholdsvis [tex]\vec{u}[/tex] og [tex]\vec{v}[/tex] ved å bruke at [tex]|\vec{x}|^2 = \vec{x}^2[/tex].

[Gommle]

Vektormannen har nok riktig. Jeg tegnet i GeoGebra og kom fram til 82.7 grader.

Jeg brukte:

[tex]\vec a = [2,\,\,0][/tex] og [tex]\vec b = [-\frac{3}{2}, \,\,\frac{3}{2}\sqrt 3][/tex]

Og fant ut:

[tex]\vec a \cdot \vec b = -3[/tex]

[tex]\vec a^2 = 4[/tex] og [tex]\vec b^2 = 9[/tex]

[tex]\vec u \cdot \vec v = 2[/tex]

[tex]|\vec u| = \sqrt{19}[/tex] og [tex]|\vec v| = \sqrt{13}[/tex]

[Realist1]

Svaret er: [tex]E(-8, 0)[/tex]

?

[Realist1]

Oppgave 5
La vektorene [tex]\vec a[/tex] og [tex]\vec b[/tex] være slik at [tex]\left|\vec a\right|=2[/tex] og [tex]\left|\vec b\right|=3[/tex]. Vinkelen mellom vektorene er 120[sup]o[/sup]. Videre er [tex]\vec u = \vec a - \vec b[/tex] og [tex]\vec v = 2\vec a + \vec b[/tex].

a) Finn [tex]\vec a \cdot \vec b[/tex], [tex]\vec a^2[/tex] og [tex]\vec b^2[/tex].

b) Finn [tex]\vec u \cdot \vec v[/tex].

c) Finn [tex]\left|\vec u\right|[/tex] og [tex]\left|\vec v\right|[/tex].

d) Finn vinkelen mellom [tex]\vec u[/tex] og [tex]\vec v[/tex].

a)
[tex]\vec a \cdot \vec b = \left|\vec a\right| \cdot \left|\vec b\right| \cdot \cos{120} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{-1}{2} = \underline{\underline{-3}}[/tex]
[tex] \vec a^2 = \left|\vec a\right|^2 = 2^2 = \underline{\underline{4}}[/tex]
[tex]\vec b^2 = \left|\vec b\right|^2 = 3^2 = \underline{\underline{9}}[/tex]

b)
[tex]\vec u \cdot \vec b = (\vec a - \vec b)(2\vec a + \vec b) = 2\vec a^2 + \vec a\vec b - 2\vec a\vec b - \vec b^2 = 2 \cdot 4 - (-3) - 9 = \underline{\underline{2}}[/tex]

c)
[tex]\left|\vec u\right|^2 = \vec u^2 = (\vec a- \vec b)^2 = \vec a^2 - 2\vec a\vec b + \vec b^2 = 4^2 - (2\cdot -3) + 9^2 = 16+6+81 = 103 \\ \underline{\underline{\Rightarrow \ \left|\vec u\right| = \sqrt{103}}}[/tex]

[tex]\left|\vec v\right|^2 = \vec v^2 = (2\vec a + \vec b)^2 = 4\vec a^2 + 4\vec a\vec b + \vec b^2 = 4\cdot 4 + (4\cdot -3) + 9^2 = 16-12+81 = 85 \\ \underline{\underline{\Rightarrow \ \left|\vec v\right| = \sqrt{85}}}[/tex]

d)
[tex]\alpha = \cos ^{-1} \left(\frac{\vec u \cdot \vec v}{\left|\vec u\right| \cdot \left|\vec v\right|}\right) = \cos ^{-1} \left(\frac{2}{\sqrt{103}\cdot \sqrt{85}} \right) = 88,755^o[/tex]

Slik var det jeg løste dem. Hvor ligger feilen min?

[Vektormannen]

Feilen din ligger i at du ersatter [tex]\vec{a}^2[/tex] med 4[sup]2[/sup] og [tex]\vec{b}^2[/tex] med 9[sup]2[/sup]. De er jo allerede kvadrerte.

[Realist1]

Kongeee.

[alexissanchez]

noen som har løst de fleste oppgavene, som gidd å legge ut noen svar dokkar har fått på de forskjellige oppgavene?

[Realist1]

Hvilke oppgaver lurer du på?

[alexissanchez]

Hvilke oppgaver lurer du på?

ekke helt sikker på 2) e) har du fått den til, det har du sikkert da:P