Noen mener 10 kast, andre mener 24 og noen 51. Finnes det en løsning på denne endeløse gåten?En mann står på toppen av et stup med 100 småstein tilgjengelig. Langt der nede på bakken under stupet står det et glass, som mannen skal prøve å knuse. Den første steinen han kaster har 1% sjanse for å treffe og dermed knuse glasset, den andre steinen 2%, den tredje 3% og så videre, ettersom han får justert styrken og vinkelen på kastet for hver gang. Den siste steinen har 100% sjanse for å treffe.
Med hvilken stein er det mest sannsynlig at glasset blir knust? Jeg skjønner at det ikke kan være med den siste steinen, fordi selv om den har 100% sjanse for å treffe, er det forsvinnende liten sannsynlighet for at han bommer på alle de 99 første steinene (og dermed må kaste 100 ganger).
Sannsynlighets-nøtt
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Etter at denne oppgaven har ravet rundt på et fotballforum i en uke nå, med konsultering fra både mattelærere å sakyndige, så må jeg ty til ekspertene.
Tror det blir slik:
Definerer hendingene:
[tex]1[/tex]: knuser glasset på første kast
[tex]2[/tex]: knuser glasset på andre kast
[tex]3[/tex]: knuser glasset på tredje kast
osv.
[tex]P(1) =\frac{1}{100}[/tex]
[tex]P(2) = (1-\frac{1}{100}) \cdot \frac{2}{100} = \frac{99}{100} \cdot \frac{2}{100}[/tex]
[tex]P(3) = (1-\frac{1}{100}) \cdot (1-\frac{2}{100}) \cdot \frac{3}{100} = \frac{99}{100} \cdot \frac{98}{100} \cdot \frac{3}{100}[/tex]
[tex]P(4) = \frac{99\cdot 98\cdot 97\cdot 4}{100^4}[/tex]
Generelt:
[tex]P(n) = \frac{\frac{99!}{(100-n)!} \cdot n}{100^{n}}[/tex] der [tex]n \in \{1, 2, 3,...,100\}[/tex]
Denne tegner man f.eks. i WolframAlpha, og finner [tex]n = 10[/tex] som maksimalpunkt.
Definerer hendingene:
[tex]1[/tex]: knuser glasset på første kast
[tex]2[/tex]: knuser glasset på andre kast
[tex]3[/tex]: knuser glasset på tredje kast
osv.
[tex]P(1) =\frac{1}{100}[/tex]
[tex]P(2) = (1-\frac{1}{100}) \cdot \frac{2}{100} = \frac{99}{100} \cdot \frac{2}{100}[/tex]
[tex]P(3) = (1-\frac{1}{100}) \cdot (1-\frac{2}{100}) \cdot \frac{3}{100} = \frac{99}{100} \cdot \frac{98}{100} \cdot \frac{3}{100}[/tex]
[tex]P(4) = \frac{99\cdot 98\cdot 97\cdot 4}{100^4}[/tex]
Generelt:
[tex]P(n) = \frac{\frac{99!}{(100-n)!} \cdot n}{100^{n}}[/tex] der [tex]n \in \{1, 2, 3,...,100\}[/tex]
Denne tegner man f.eks. i WolframAlpha, og finner [tex]n = 10[/tex] som maksimalpunkt.
Denne kan man også løse uten å bruke et dataprogram til å finne hvilken n som gir omslagspunktet. La [tex]P_{n}[/tex] være sannsynligheten for at n'te kast treffer. Da kan man ganske greit vise følgende sammenheng mellom n'te og (n+1)'te P:
[tex]\frac{P_{n+1}}{P_{n}} = \frac{1}{100}\cdot\frac{n(101 - n)}{n - 1}[/tex]
Man forstår at i starten så øker Pn, og etter hvert som n blir større, så begynner den å minke, dvs at forholdet jeg har satt opp først er større enn 1 og så for en viss n vil skifte og bli mindre enn 1. For å finne omslangspunktet løser man likningen [tex]\frac{P_{n+1}}{P_{n}} = 1[/tex], og får et svar på rundt 10.5, dvs kastet etter det tiende gir lavere sannsynlighet, altså er svaret 10!
[tex]\frac{P_{n+1}}{P_{n}} = \frac{1}{100}\cdot\frac{n(101 - n)}{n - 1}[/tex]
Man forstår at i starten så øker Pn, og etter hvert som n blir større, så begynner den å minke, dvs at forholdet jeg har satt opp først er større enn 1 og så for en viss n vil skifte og bli mindre enn 1. For å finne omslangspunktet løser man likningen [tex]\frac{P_{n+1}}{P_{n}} = 1[/tex], og får et svar på rundt 10.5, dvs kastet etter det tiende gir lavere sannsynlighet, altså er svaret 10!