Tre nøtter!

[Giuseppe]

Hei hei!

Har en prøve pensumprøve om 2 uker, og gjennomgår pensumet nå. Kommer med tre forskjellige oppgaver som ville vært fint om noen kunne ha regnet for meg. Sliter litt med selve fremgangsmåten, så ville vært fint å se noen slike oppgaver regnet ut, slik jeg ser hvordan det skal gjøres.

Takk på forhånd!

Oppgave 1

(x^3 - 7x^2 + 14x - 8) : (x - 4)

a) Undersøk om divisjonen går opp uten å utføre divisjonen.
b) Utfør divisjonen i oppgave a.
c) Faktoriser uttrykket .

Vi lar nå funksjonen f være gitt ved

f (x) = x^3 - 7x^2 + 14x - 8

d) Finn nullpunktene til f.
e) Finn ut hvor grafen ligger over x-aksen ved å løse en ulikhet.
f) Bruk derivasjon til å finne ut om funksjonen er voksende eller minkende når x = 3.
g) Finn ut hvor funksjonen synker raskest.


Oppgave 2

I en by er antallet husstander som har fjernsyn med flatskjerm, gitt ved
der x er antallet år etter 1. januar 2005.

f(x) = (20 000) / (2 + 8e^-0,4x)

a) Hvor mange hadde flatskjerm 1. januar 2005 og 1. juli 2008?
b) Hvor mange vil ha flatskjermer etter lang tid i denne byen?
c) Finn digitalt og ved regning når antallet flatskjermer er 8000.
d) Finn ved regning.
e) Finn vekstfarten 1. januar 2010.


Oppgave 3
Når en fabrikk produserer x enheter av en vare per dag, er kostnaden i kroner per dag gitt ved

K(x) = 0,1x^2 + 200x + 5000, x element [0,500]

a)Finn et uttrykk for grensekostnaden og bruk den til å finne ut omtrent hvor mye det koster å øke produksjonen fra 300 til 310 enheter per dag.
b) Finn et uttrykk for enhetskostnaden E(x) og tegn grafen til E i et koordinatsystem.
c) Bruk blant annet grafen til E til å finne hvilken produksjonsmengde som gir lavest enhetskostnad. Finn en ganske nøyaktig verdi uten å bruke digitale hjelpemidler.

Etterspørselen per dag etter denne varen er gitt ved
der p er prisen i kroner. Bedriften produserer akkurat den mengden som blir solgt.

Q(p) = 2600 – 400 ln p, p element [250,500]

d) Finn etterspørselen når prisen er 400 kr.
e) Finn ved regning den prisen som gir lavest enhetskostnad.
f) Finn overskuddet når prisen er 350 kr.

[Nebuchadnezzar]

[tex]1) \qquad a)[/tex] dersom divisjonen går opp så [tex]f(4)=0[/tex]

b) Denne klarer du fint selv, polynomdivisjon

[tex]c) \qquad x-3x+2 \, = \, (x-2)(x-1)[/tex] Eventuelt kan du bare prøve med noen verdier og se om stykket går opp


[tex]2)\, a) \qquad f(0) \, og \, f(3)[/tex]

[tex]b) \qquad \lim_{x\to\infty} \, f(x)[/tex]

[tex]c) \qquad f(x)=8000[/tex]

[tex]e) \qquad f^{\tiny\prime}(5)[/tex]

Ikke sikker på [tex]3[/tex] har ikke økonomi ^^

[Realist1]

Har du prøvd på noe av dette her selv?

[Giuseppe]

[quote="Realist1"]Har du prøvd på noe av dette her selv?[/quote]

Ja, jeg har regnet mesteparten av det selv. Men la ut hele oppgaver bare for å sjekke svara mine, siden jeg ikke har noen fasit. Men de jeg sliter med er:

1) e - g

og oppgave 3, siden økonomi ikke er min sterkeste side!

[Nebuchadnezzar]

[tex]f (x) = x^3 - 7x^2 + 14x - 8 [/tex]

[tex]e) \qquad f(x)>0 \qquad \Rightarrow \qquad x^3 - 7x^2 + 14x - 8>0 \qquad \Rightarrow \qquad (x-1)(x-2)(x-4) > 0 [/tex]
så løser du denne med IQ eller fortegnslinje, eventuelt graf.

[tex]g) \qquad f^{\tiny\prime\tiny\prime}(x)=0[/tex]

Om du er usikker kan du legge ut hva du har gjort også kan vi påpeke eventuelle feil, eller gi ros for egen innsats

[eirbra]

Nice

[eirbra]

Men er det noen som greier den økonomioppgaven? Den greier i hvertfall ikke jeg!

[Markonan]

Oppgave 3
-------------
a) Er ikke helt med på hva de spør etter her.

b) Enhetskostnaden er K(x)/x.
K(x) er kostnadsfunksjonen for x antall enheter, så da er det logisk at kostnadene for å produsere én enhet er K(x)/x.

c) Deriver E(x) og sett den lik null og løs for x. Jeg fikk 223.6068.
Prøv på dette og se om du får det samme.

d) Bare å regne ut Q(400)

e) Skjønte ikke hva de spurte om her heller.

f) Overskuddet er inntekter minus kostnader. Først må du finne ut hvor mange enheter de selger når prisen er 350 - regn ut Q(350) - og så hvor mye de tjener: det er prisen ganget med antall solgte varer, og da har du funnet inntekten. For å finne overskuddet tar du inntekten minus kostandene for å lage Q(350) enheter.

[Giuseppe]

Oppgave 1)

a)
f ( x ) = x^3 – 7x^2 + 14x – 8

f ( 4 ) = 4^3 – 7*4^2 + 14*4 – 8 = 0
Divisjonen går opp.

b)

(x^3 – 7x^2 +14x – 8) : ( x – 4) = x^2 - 3x + 2 (polynomdivisjon)

c)

(x^3 – 7x^2 + 14x – 8) --> (x^2 – 3x + 2) * (x – 4)

Andregradsformel på (x^2-3x+2) gir: x = 2 V x = 1

(x^3 – 7x^2 + 14x – 8) = (x – 2)(x – 1)(x – 4)

d)

Nullpunktene til f ( x ) er
x = 4, x = 2 og x = 1.

e)

x^3 – 7x^2 + 14x – 8 > 0

(x – 2)(x – 1)(x – 4) > 0

Lager en fortegnslinje med verdiene: (x-1), (x-2) og (x-4)

Fortegnslinja gir følgende svar:
Grafen ligger over x-aksen når 1 < x < 2 og når x > 4.

f)

f ( x ) = x^3 – 7x^2 + 14x – 8

f ’ ( x ) = 3x^2 – 14x + 14

f ’ ( 3 ) = 3*3^2 – 14*3 + 4 = -1
Når x = 3 er funksjonen minkende.

g)

f ’ ( x ) = 3x^2 – 14x + 14

f ’ ’ ( x ) = 6x – 14

f ’ ’ ( x ) = 0

6x – 14 = 0

6x = 14

x = 2,33.

Oppgave 2)

a)

1) 1. januar 2005:

f ( 0 ) = 20 000 / 2 + 8e^-0,4*0 = 2000

2) 1. juli 2008:

f (3,5) = 20 000 / 2 + 8e^-0,4*3,5 = 5034,26

b)

Setter inn et høyt tilfeldig tall som 1000.

f ( 1000 ) = 2000 / 2 + 8e^-0,4*1000 = 10 000

Etter lang tid vil 10 000 ha flatskjerm

c)

20 000 / 2 + 8e^-0,4x = 8000

20 000 / 8000 * (2 + 8e^-0,4x) = 0

2,5 / 2 + 8e^-0,4x = 0

0,5 = 8e^-0,4x

0,0625 = e^-0,4x

ln 0,0625 = ln e^-0,4x

ln 0,0625 = -0,4x * ln e

6,93147 = x

d)

f ( x ) = 20 000 / 2 + 8e^-0,4x

f `( x ) = ( (20 000) ` * (2 + 8e^-0,4x) – (20 000) * (2 + 8e^-0,4x) `) / (
2 + 8e^-0,4x)^2

f `( x ) = 64000e^-0,4x / (2 + 8e^-0,4x)^2

e)

f ` ( 5 ) = 64000e^-0,4 * 5 / (2 + 8e^-0,4* 5)^2 = 911,451



Der er alle løsningene på oppgave 1 og 2. Hvertfall de jeg har regnet ut. Men jeg er STUCK på oppgave 3.

[Markonan]

Så du mine tips til oppgave 3?

Her er forresten for 3a som jeg plutselig så.

a) Finn K'(x) som er grensekostnaden og beregn K'(310)
Da vet du hvor fort kostnadene vokser her.
Gang dette med 10 så vet du ca. hvor fort det vokser for 10 enheter.

(Du kan sammenligne svaret med K(310) - K(300) som stemmer ganske bra).

[Giuseppe]

[quote="Markonan"]Så du mine tips til oppgave 3?

Her er forresten for 3a som jeg plutselig så.

a) Finn K'(x) som er grensekostnaden og beregn K'(310)
Da vet du hvor fort kostnadene vokser her.
Gang dette med 10 så vet du ca. hvor fort det vokser for 10 enheter.

(Du kan sammenligne svaret med K(310) - K(300) som stemmer ganske bra).[/quote]

Ok! Takk! Ja, så tipsene og de stemte bra.

Eneste er at jeg får fortsatt ikke f helt til. Forklar litt mer er du snill.

Dessuten tenker jeg at på e kanskje er det samme som c. At vi må derivere q(p) og sette den lik 0. Hva tror du?

[Nebuchadnezzar]

Du har fått riktig svar på 2 b men feil fremgangsmåte, du kan ikke bare sette inn et tilfeldig høyt tall...

[hemli]

Hei

Jeg ser at det er lenge, lenge siden du ba om svar på oppgave 3, men tenkte allikevel å poste et svar i tilfelle det er flere – som meg – som har slitt med den Oppgaven er å finne i Sinus S2 under delkapittel 6.4 om Pris og etterspørsel, 6.145. Det er allerede gitt svar på oppgavene a, b, c, d og f, så jeg kommer bare til å legge ut svaret for oppgave e).

Du har fått oppgitt et funksjonsuttrykk for etterspørselen per dag, q(p) = 2600 – 400lnp. Dette må du benytte deg av. Du skal også tidligere, i oppgave c), ha regnet ut hvilken produksjonsmengde som gir den laveste enhetskostnaden. Jeg fikk der 223,61 enheter. Oppgaven spør etter den prisen som gir lavest enhetskostnad. Du må derfor sette den mengden som gir lavest enhetskostnad, etterspørselen, som er 223,61, inn i uttrykket for etterspørsel slik at q(p) = 223,61. Da sitter du igjen med denne likningen:

223,61 = 2600 – 400lnp

Regner du ut denne sitter du igjen med svaret på prisen som gir lavest enhetskostnad.

223,61 – 2600 = –400lnp
-2376,4 = –400lnp
–2736,4/(–400) = –400lnp/(–400)
5,941 = lnp

Bruk videre regnereglene for naturlige logaritmer.
lnp = 5,941
e^lnp = e^5,941
p = ca. 380 kr

Jeg håper dette var til hjelp!