[tex]\mathcal{FASIT}[/tex]
Oppgave 1
a) Deriver funksjonene
[tex]\qquad[/tex]1) [tex]\,f(x)\,=\,x\cdot \ln(4x)[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] [tex]f^{\tiny\prime}(x)\,=\,1\cdot \ln(4x)+x\cdot\frac{1}{4x}\cdot4[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] [tex]f^{\tiny\prime}(x)\,=\ln(4x)+1[/tex]
[tex]\qquad[/tex]2) [tex]g(x)\,=\,6(5-x)^3[/tex]
[tex]\qquad \qquad [/tex] [tex]g^{\tiny\prime}(x)\,=(6)(3)(5-x)^2(-1)[/tex]
[tex]\qquad \qquad [/tex] [tex]g^{\tiny\prime}(x)\,=-18(5-x)^2[/tex]
b) Finn grenseverdien dersom den eksisterer
[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{2x}{x}\; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7} x \; \Leftrightarrow \, 7[/tex]
Bruker L`hôpital pga grenseverdien er på [tex]\frac{0}{0}[/tex] form
[tex]\lim_{x\to7}\,\frac{x^2-49}{2x-14}\; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{x^2-7^2}{2x-2\cdot7} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{(x-7)(x+7)}{2(x-7)} \; \Leftrightarrow \, \lim_{x\to7}\,\frac{x+7}{2}\; \Leftrightarrow \, \frac{7+7}{2}\; \Leftrightarrow \,7[/tex]
c) Skriv så enkelt som mulig:
[tex] \qquad \ln\left(\frac{9}{x^3}\right)+\ln\left(\frac{x}{3}\right)+\ln(x^2)\,= \, \ln \left( \frac{9}{x^3} \cdot \frac{x}{3} \cdot x^2\right)\, = \, \ln(3)[/tex]
d) La f være polynomfunksjonen gitt ved [tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
1) Regn ut [tex]f(2)[/tex] og faktoriser [tex]f(x)[/tex] i linære faktorer
[tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,\left(2^3\right)-3\left(2^2\right)-10\left(2\right)+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,8-12-20+24[/tex]
[tex]f(2)\,=\,0[/tex]
[tex]x^3-3x^2-10x+24 \, : \, x-2 \; = \; x^2-x-12[/tex]
[tex]\underline{x^3-2x^2 \qquad \qquad \qquad \qquad} [/tex]
[tex]\,\,\,\;\, - \; x^2+2x[/tex]
[tex]\underline{\,\,\,\;\, - \; x^2 -12x \qquad \qquad \qquad \qquad}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, -12x+24[/tex]
[tex]\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, -12x+24 \qquad \qquad}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \, \theta[/tex]
[tex]f(x)\,=\,x^3-3x^2-10x+24[/tex]
[tex]f(x)\,=\,(x-2)(x^2-x-12)[/tex]
[tex]f(x)\,=\,(x-2)(x-4)(x+3) \qquad \qquad[/tex] pga [tex](-4)(3)=-12\,[/tex] og [tex]\,(-4)+(3)=-1[/tex]
2) Løs ulikheten [tex]f(x)<0[/tex]
______-4______-3______-2______-1______0______1______2______3______4______5
x+3 -----------------0________________________________________________________
x-2 ----------------------------------------------------------------------------0____________________
x-4----------------------------------------------------------------------------------------------------0_____
f(x)-------------------0___________________________________0----------------------0______
[tex]f(x)<0[/tex] når [tex]x<-3[/tex] eller [tex]2<x<4[/tex]
e) figuren viser grafen til en funksjon [tex]f[/tex] med to asymptoter. Bruk figuren til å tegne fortegnslinje for [tex]f(x)[/tex], den førstederiverte og den andrederiverte. Bestem verdimengden til funksjonen
Ganske nytteløs uten graf, skal tegne graf snart...
Oppgave 2
Slå en sirkel på innføringsarket. anta at vi ikke kjenner beliggenheten av sentrum til sirkelen. Vis ved konstruksjon hvordan vi kan finne sentrum.
Merk av et punkt [tex]T[/tex] utenfor sirkelen. Konstruer tangentene fra [tex]T [/tex]til sirkelen.
http://www.2shared.com/file/2sCkEqMh/Sentrum.html
1. Plasser et vilkårlig punkt P utenfor sirkelen
2. sett passerspissen i punktet og slå en bue som skjærer sirkelen
3. Marker skjæringspunktene, og finn midtpunktet mellom dem
4. Trekk ei linje gjennom punkt P og midtpunktet (Dette er diameteren)
5. Sett av skjæringspunktet mellom sirkelen og linja
6. Konstruer midtnormalen mellom skjæringspunktene, dette er sentrum
1. Plasser tre vilkårlige punkt på sirkelen.
2. Tegn en trekant med hjørner i disse punktene
3. Finn midtnormalen til to av sidene i trekanten
4. Skjæringspunktet mellom disse linjene er sentrum
To alternative måter
http://www.youtube.com/watch?v=YOJbWo41gU0
http://www.youtube.com/watch?v=7kMFjXtAWAY
Vi antar at vi kjenner sentrum i sirkelen
1. Vi plasserer et vilkårlig punkt T utenfor sirkelen
2. Vi finner midtpunktet mellom sentrum av sirkelen og T
3. Vi konstruerer en sirkel med sentrum i midtpunktet or radius til T
4. Skjæringspunktet mellom disse to sirklene er Tangeringspunktet til T
Oppgave 3
a) forklar hvorfor vektorene [tex][a,b][/tex] og [tex][-b,a][/tex] står vinkelrett på hverandre
To vinkler er ortogonale, dersom kryssproduktet er null
[tex]\vec{a}\bot\vec{b}\,\Leftrightarrow\,\vec{a}\cdot\vec{b}=0[/tex]
[tex]\vec{a}\cdot\vec{b}=0\,\Leftrightarrow\, [a,b][-b,a] = 0 \,\Leftrightarrow\, (a)(-b)+(a)(b)=0\,\Leftrightarrow\, -ab+ab=0\,\Leftrightarrow\, 0=0[/tex]
b) Trekanten [tex]PQR[/tex] har hjørnene [tex]P(1,2) \; , \; Q(9,3) \; , \; R(9,-4)[/tex]
Bestem vektorene [tex]\; \vec{PR} \; , \; \vec{QR}[/tex] og [tex]|\vec{PR}|[/tex]
[tex] \vec {PR} = \vec {OR} - \vec {OP} = [9, - 4] - [1,2] = [8, - 6] [/tex]
[tex] \vec {QR} = \vec {OR} - \vec {OQ} = [9, - 4] - [9,3] = [0, - 7] [/tex]
[tex] \left| {\vec {PR} } \right| = \sqrt {\,\vec {PR} ^2 \;} = \sqrt {\left( 8 \right)^2 + \left( { - 6} \right)^2 } = \sqrt {64 + 36} = \sqrt {100} = 10 [/tex]
c) Undersøk ved regning om [tex]\vec{PR}[/tex] står vinkelrett på [tex]\vec{QR}[/tex]
[tex]\vec {QR} \bot \vec {PR} \Leftrightarrow \vec {QR} \cdot \vec {PR} = 0 \Leftrightarrow [8, - 6] \cdot [0, - 7] \Leftrightarrow (8)(0) + \left( { - 6} \right)\left( { - 7} \right) \Leftrightarrow 42 [/tex] Nei, [tex]\vec {QR}[/tex] står ikke vinkelrett på [tex]\vec {PR}[/tex]
d) Finn en parameterframstilling for linja [tex]l[/tex] gjennom [tex]P[/tex] og [tex]Q[/tex]
[tex] \vec{PQ} = \vec {OQ} - \vec {OP} = [9,3] - [1,2] =[8,1] [/tex]
[tex]l:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 8t \\ y = 2 + 1t \\ \end{array} \right.[/tex]
e) Finn et punkt [tex]N[/tex] på [tex]l[/tex] slik at [tex]PQ \, \bot \,RN[/tex]
[tex]\vec {ON} = \vec{OP} + \vec {PQ} \cdot t = \left[ {1,2} \right] + \left[ {8,1} \right]t = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] [/tex]
[tex] RN = \vec {ON} - \vec {OR} = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] - \left[ {9, - 4} \right] = \left[ {8t - 8,t + 6} \right] [/tex]
[tex] \vec{PQ} \bot \vec {RN} \Leftrightarrow \vec {PQ} \cdot \vec {RN} = 0 \Leftrightarrow \left[ {8,1} \right]\left[ {8t - 8,t + 6} \right] = 0 \Leftrightarrow 64t - 64 + t + 6 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{58}}{{65}}[/tex]
[tex] \vec {ON} = \left[ {8t + 1,t + 2} \right] = \left[ {8\frac{{58}}{{65}} + 1,\frac{{58}}{{65}} + 2} \right] = \left[ {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right] \Rightarrow N\left( {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right) [/tex]
f) Finn likninga for linja [tex]m[/tex] gjennom [tex]R[/tex] og [tex]N[/tex]
[tex] N\left( {\frac{{529}}{{65}},\frac{{188}}{{65}}} \right) [/tex]
[tex] RN = \left[ {8t - 8,t + 6} \right] = \left[ {8\left( {\frac{{58}}{{65}}} \right) - 8,\frac{{58}}{{65}} + 6} \right] = \left[ { - \frac{{56}}{{65}},{\rm{ }}\frac{{448}}{{65}}} \right] [/tex]
[tex]m:\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - \frac{{56}}{{65}}t \\ y = - 4 + \frac{{448}}{{65}}t \\ \end{array} \right\}{\rm{ og }}x = 9 - \frac{{56}}{{65}}t \Rightarrow t = - \frac{{65}}{{56}}x + \frac{{585}}{{56}}[/tex]
[tex] y = - 4 + \frac{{448}}{{65}}t \Rightarrow y = - 4 + \left( {\frac{{448}}{{65}}} \right)\left( { - \frac{{65}}{{56}}x + \frac{{585}}{{56}}} \right) \Rightarrow y = - 4 - \frac{{448}}{{56}}x + 72 \Rightarrow y = - 8x + 68 [/tex]
Del 2 (Tre timer)
Oppgave 4
Funksjonen [tex]f(x)[/tex] er gitt ved [tex]f(x)=x^4+2x^3-5x^2[/tex]
a) Finn nullpunktene til funksjonen og skjæringspunktet med y aksen
[tex] f(x) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 [/tex]
[tex] f(x) = x^2 \left( {x^2 + 2x - 5} \right) [/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 2 \right) \pm \sqrt {\left( 2 \right)^2 - 4\left( 1 \right)\left( { - 5} \right)} }}{{2\left( 1 \right)}} = \frac{{ - 2 \pm \sqrt {24} }}{2} = \frac{{ - 2 \pm 2\sqrt 6 }}{2} = - 1 \pm \sqrt 6 [/tex]
[tex] Nullpunktene{\rm{ }}til{\rm{ }}f(x){\rm{ }}er{\rm{ }}x = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }} - 1 \pm \sqrt 6 [/tex]
b) Finn [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex] , tegn et fortegnsskjema for den deriverte og finn topp. og bunnpunktene til funksjonen
[tex] f\left( x \right) = x^4 + 2x^3 - 5x^2 [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = \left( {2x} \right)\left( {2x^2 + 3x - 5} \right) [/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 3 \right) \pm \sqrt {\left( 3 \right)^2 - \left( 4 \right)\left( 2 \right)\left( { - 5} \right)} }}{{2\left( 2 \right)}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {49} }}{4} = \frac{{ - 3 \pm 7}}{4} = 1 \vee - \frac{5}{2} [/tex]
[tex]f\left( 1 \right) = \left( 1 \right)^4 + 2\left( 1 \right)^3 - 5\left( 1 \right)^2 = - 2 [/tex]
[tex] f\left( 0 \right) = \left( 0 \right)^4 + 2\left( 0 \right)^3 - 5\left( 0 \right)^2 = 0 [/tex]
[tex] f\left( { - \frac{5}{2}} \right) = \left( { - \frac{5}{2}} \right)^4 + 2\left( { - \frac{5}{2}} \right)^3 - 5\left( { - \frac{5}{2}} \right)^2 = \left( { \frac{{625}}{{16}}} \right) + \left( { - \frac{{125}}{4}} \right) - \left( { \frac{{125}}{4}} \right) = - \frac{{375}}{{16}}[/tex]
_________-3______-5/2______-2______-1______0______1______2______
[tex]2x+5[/tex]-------------------0___________________________________________
[tex]x[/tex]---------------------------------------------------------------0____________________
[tex]x-1[/tex]-----------------------------------------------------------------------0_____________
[tex]f(x)[/tex]-----------------------0______________________0----------0_____________
[tex]f(x)[/tex] har bunnpunktene [tex]\left( -\frac{5}{2} \, , \, - \frac{{625}}{{16}} \right)[/tex] og [tex]\left( 1 \, , \, -2 \right)[/tex]
[tex]f(x)[/tex] har toppunktet [tex]\left( 0 \, , \, 0 \right)[/tex]
c) Finn [tex]f^{\tiny\prime\tiny\prime}(x)[/tex] og bestem hvordan grafen krummer.
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( x \right) = 12x^2 + 12x - 10 = 2\left( {6x^2 + 6x - 5} \right)[/tex]
[tex] x = \frac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} = \frac{{ - \left( 6 \right) \pm \sqrt {\left( 6 \right)^2 - 4\left( 6 \right)\left( { - 15} \right)} }}{{2\left( 6 \right)}} = \frac{{ - 6 \pm \sqrt {156} }}{{12}} = \frac{{ - 3 \pm \sqrt {39} }}{6} [/tex]
[tex] f\left( x \right){\rm{ }}er{\rm{ }}konveks{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x < \frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}{\rm{ }}eller{\rm{ }}x > \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6} [/tex]
[tex] f\left( x \right){\rm{ }}er{\rm{ }}konkav{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6} < x < \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6} [/tex]
d) Bestem vendetetangentene til [tex]f[/tex].
[tex] f\left( x \right) = x^4 + 2x^3 - 5x^2{\rm{ og }}f\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) = - \frac{{11}}{{36}} - \frac{2}{9}\sqrt {39} {\rm{ og }}f\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) = - \frac{{11}}{{36}} + \frac{2}{9}\sqrt {39} {\rm{ }} [/tex]
[tex] f^{\tiny\prime}\left( x \right) = 4x^3 + 6x^2 - 10x{\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( {\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) = 10 - \frac{5}{9}\sqrt {39} {\rm{ og }}f^{\tiny\prime}\left( {\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) = 10 + \frac{5}{9}\sqrt {39} [/tex]
[tex] y = a\left( {x - x_1 } \right) + y_1 [/tex]
[tex] y_a = \left( {10 - \frac{5}{9}\sqrt {39} } \right)\left( {x - \frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}} \right) + \left( { - \frac{{11}}{{36}} - \frac{2}{9}\sqrt {39} } \right){\rm{ og }}y_b = \left( {10 + \frac{5}{9}\sqrt {39} } \right)\left( {x - \frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}} \right) + \left( { - \frac{{11}}{{36}} + \frac{2}{9}\sqrt {39} } \right) [/tex]
[tex] y_a = 10\,x - \frac{{107}}{{12}} + \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} - \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x{\rm{ og }}y_b = 10\,x - \frac{{107}}{{12}} - \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} + \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
[tex] {\rm{Vendetangenten i punktet }}\frac{{ - 3 - \sqrt {39} }}{6}{\rm{ er y = }}10\,x - \frac{{107}}{{12}} + \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} - \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
[tex] {\rm{Vendetangenten i punktet }}\frac{{ - 3 + \sqrt {39} }}{6}{\rm{ er }}\,y=10\,x - \frac{{107}}{{12}} - \frac{{31}}{{18}}\,\sqrt {39} + \frac{5}{9}\,\sqrt {39} x [/tex]
f) Vi har likningen [tex]f(x)\,=\,k[/tex]. Bestem for hvilke [tex]k[/tex]-verdier som gir [tex]0\,,\,1\,,\,2\,,\,3[/tex] og [tex]4[/tex] løsninger.
[tex] Ingen{\rm{ }}l{\o}sning{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k < - \frac{{625}}{{16}} [/tex]
[tex] En{\rm{ }}l{\o}sning{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = \frac{{625}}{{16}} [/tex]
[tex] To{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }} - \frac{{625}}{{16}} > k > - 2{\rm{ }} \vee {\rm{ }}k > 0 [/tex]
[tex] Tre{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}k = 0{\rm{ }} \vee {\rm{ }}k = - 2 [/tex]
[tex] Fire{\rm{ }}l{\o}sninger{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}0 > k > - 2[/tex]
Oransje linjer, er for å illustrere antall løsninger for forskjellige verdier av k
Blå linjer, er vendetangenter, svarte er nullpunkter og grønne er ekstremalpunkter.
Oppgave 5
En partikkel følger banen til vektorfunksjonen gitt ved [tex]\vec{\,r(t)\,}\,=\,[4t^2-5t\,,\,2e^t][/tex]
der [tex]t[/tex] er tiden målt i sekunder
a) Bestem hvor partikkelen er etter [tex]2[/tex] sekunder.
[tex]\vec{r\left( t \right)} = \left[ {4t^2 - 5t,2e^t } \right][/tex]
[tex] \vec {r\left( 2 \right)} = \left[ {4 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2,2e^2 } \right] = \left[ {6,2e^2 } \right] \approx \left[ {6,{\rm{14}}{\rm{.778}}} \right] [/tex]
b) Bestem farten etter [tex]2[/tex] sekunder.
[tex]b)v\left( t \right) = \left| {r^{\tiny\prime}\left( t \right)} \right| = \sqrt {\left( {8t - 5} \right)^2 + \left( {2e^t } \right)^2 } = \sqrt {64t^2 - 80t + 25 + 4e^{2t} } [/tex]
[tex] v\left( 2 \right) = \sqrt {64 \cdot 2^2 - 80 \cdot 2 + 25 + 4e^{2t} } = \sqrt {121 + 4e^4 } \approx {\rm{18}}{\rm{.42261111}}m/s [/tex]
c) Finn akselerasjonsvektoren og bestem akselerasjonen etter 3 sekunder.
[tex] Akselerasjonsvektor =\vec{r^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( t \right)} = \left[ {8,2e^t } \right] [/tex]
[tex] a\left( t \right) = \left| {\vec {r^{\tiny\prime\tiny\prime}\left( t \right)} } \right| = \sqrt {8^2 + \left( {2e^t } \right)^2 } = \sqrt {64 + 4e^{2t} } = 2\sqrt {16 + \left( {e^t } \right)^2 } [/tex]
[tex] a\left( 3 \right) = 2\sqrt {16 + \left( {e^3 } \right)^2 } = 2\sqrt {16 + e^6 } \approx 40.95992156 \text{m/s}^2 [/tex]
d Avgjør om fartvektoren er parallell med aksene for noen verdier av t.
[tex]r\left( t \right)||\left( {x,0} \right) \Leftrightarrow \left[ {8t - 5,2e^t } \right] = \left( {x,0} \right){\rm{ }}siden{\rm{ }}2e^t \ne 0{\rm{ }}er{\rm{ }}v\left( t \right)aldri{\rm{ }}paralell{\rm{ }}med{\rm{ }}x{\rm{ }}aksen [/tex]
[tex] r\left( t \right)||\left( {0,y} \right) \Leftrightarrow \left[ {8t - 5,2e^t } \right]x = \left( {0,y} \right){\rm{ }}siden{\rm{ }}8t - 5 = 0{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \frac{5}{8}{\rm{ }}s{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}v\left( t \right){\rm{ }}paralell{\rm{ }}med{\rm{ }}y{\rm{ }}aksen{\rm{ }}da [/tex]
e) Bestem hvor kurven skjærer aksene.
[tex] \vec {r\left( t \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ {4t^2 - 5t,2e^t } \right]{\rm{ = 0 }}{\rm{, }}4t^2 - 5t = 0 \Rightarrow t = 0 \vee t = \frac{5}{4}{\rm{ og 2e}}^0 = 2{\rm{ }}{\rm{, 2e}}^{5/4} [/tex]
[tex]\vec{r\left( t \right)} {\rm{ }}skj\ae rer{\rm{ }}y{\rm{ }}aksen{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = 0{\rm{ }}i{\rm{ }}punktet\left( {0,2} \right){\rm{ }}og{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}t = \frac{4}{5}{\rm{ }}i{\rm{ }}punktet{\rm{ }}\left( {0,2e^{4/5} } \right) \approx \left( {0,6.9806} \right) [/tex]
[tex]\vec{r\left( t \right)} {\rm{ }}skj\ae rer{\rm{ }}aldri{\rm{ }}x{\rm{ }}aksen{\rm{ }}siden{\rm{ }}2e^t {\rm{ }}aldri{\rm{ }}blir{\rm{ }}0{\rm{ }} [/tex]
f) Skisser kurven for [tex]t\in [0\,,\,2][/tex]
Oppgave 6
Et legefirma prøver ut en ny blodprøvetype for fugleinfluensa. Prøven vil oppdage fugleinfluense i [tex]90\percent[/tex] avv tilfellene, men i tillegg så vil den gi en såkalt falsk positiv prøve i [tex]5\percent[/tex] av tilfellene der folk ikke har fugleinfluensa. Vi antar at [tex]4\percent[/tex] av befolkningen under et utbrudd kan ha fugleinfluensa, og vi har dermed disse hendelsene:
F: "Personen har fugleinfluensa"
T: "Personen tester positivt for fugleinfluensa
Vi har dermed [tex]P(F)\,=\,0,04\;,\;P(T|F)\,=\,90[/tex] og [tex]P(T|\overline{F})[/tex]
a) Finn [tex]P(F \, \cap \, T)\;,\;P(T)[/tex] og [tex]P(\overline{F} \, \cup \, T) [/tex]
[tex] P\left( {F \cap T} \right) = P\left( F \right)P\left( {T|F} \right) = 0.04 \cdot 0.90 = 0.036 [/tex]
[tex] P\left( T \right) = P\left( F \right)P\left( {T|F} \right) + P\left( {\overline F } \right)P\left( {T|\overline F } \right) = 0.04 \cdot 0.90 + 0.96 \cdot 0.05 = 0.036 + 0.048 = 0.084 [/tex]
[tex] P\left( {\overline F \cup T} \right) = P\left( {\overline F } \right) + P\left( T \right) - \left( {\overline F \cap T} \right) = 0.96 + 0.084 - 0.048 = 0.996 [/tex]
b) En person tester positivt for fugleinfluensa. Hva er sannsynligheten for at personen faktisk har fugleinfluensa?
[tex]P\left( {F|T} \right) = \frac{{P\left( F \right)P\left( {T|F} \right)}}{{P\left( T \right)}} = \frac{{0.036}}{{0.084}} = \frac{{36}}{{84}} = \frac{3}{7} \approx {\rm{0}}{\rm{,42857 = 42}}{\rm{.857\percent }} [/tex]
Dersom en person har fugleinfluensa, så vil personen bli bedre av seg i [tex]80\percent[/tex] av tilfellene.
Vi ser på en klasse med [tex]23[/tex] elever og antar at alle sammen har fått fugleinfluensa.
c) Hvor stor sannsynlighet er det for at minst [tex]5[/tex] elever kommer til å trenger legebehandling i denne klassen?
[tex] \sum\limits_{n = 5}^{23} { {23}\choose{n}} \left( {0.20} \right)^n \left( {1 - 0.80} \right)^{23 - n} [/tex] [tex]\Leftrightarrow \sum\limits_{n = 5}^{23} { {{ {23}\choose{n}}} \left( {\frac{1}{5}} \right)^n \left( {\frac{4}{5}} \right)^{23 - n}[/tex] [tex]=[/tex] [tex] \frac{{{\rm{1190391041157833}}}}{{{\rm{2384185791015625}}}} \approx {\rm{0}}{\rm{.49929}} \approx {\rm{50\percent }}[/tex]
d) Hva er det mest sannsynlige antallet elever som trenger legehjelp i denne klassen ?
[tex] {\rm{P}}\left( x \right) = {{23}\choose {n}}\left( {\frac{1}{5}} \right)^n \left( {\frac{4}{5}} \right)^{23 - n} \;{\rm{\,\,\,\,og P}}\left( 0 \right) = {\rm{0}}{\rm{.0059}} \, , \, {\rm{P}}\left( 1 \right) = {\rm{0}}{\rm{.033}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 2 \right) = {\rm{0}}{\rm{.093}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 3 \right) = {\rm{0}}{\rm{.163}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 4 \right) = {\rm{0}}{\rm{.204}}{\rm{ \, , \, P}}\left( 5 \right) = {\rm{0}}{\rm{.193}}[/tex]
[tex] Alts{\aa}{\rm{ }}er{\rm{ }}P\left( x \right){\rm{ }}st{\o}rst{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 4{\rm{ }}eller{\rm{ }}n{\o}yaktig{\rm{ }}n{\aa}r{\rm{ }}x = 4.293525459{\rm{ }}P\left( {4.293525459} \right) = 0.2065178183 [/tex]
[tex] Men{\text{ vi kan ikke ha halve elever}},{\text{kanskje \det \, er halvbr{\o}dre}}... [/tex]