x^y=y^x

[olel]

Så en oppgave i Sinus 1T som jeg tror lød som følger:
Finn heltallige løsninger av x^y=y^x. y [symbol:ikke_lik] x. Er det noen fornuftig måte å løse denne på, annet enn å prøve seg fram? Jeg må også ta et lite forbehold om oppgaven ba om heltallige løsninger.

[Nebuchadnezzar]

Eneste løsningene jeg klarte å finne var 2 og 4.

Er mulig å løse denne, men da må man begynne å rote med noen ganske hårete og komplekse uttrykk som er langt over videregående. I tillegg så er løsningene heller ikke heltall.

For eksempel er 3 og 2.478052685... løsninger

[olel]

Hvordan ser disse komplekse og hårete uttrykken ut?

[Nebuchadnezzar]

[tex]y = - x\frac{{W\left( { - \frac{{\ln\left( x \right)}}{x}} \right)}}{{\log \left( x \right)}}[/tex]

Der W er lambert W funksjonen som ikke kan uttrykkes algebraisk.

http://cemapre.iseg.utl.pt/archive/preprints/331.pdf

http://rgmia.org/papers/v8n4/lambert.pdf

http://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

[Charlatan]

x^y=y^x for positive x og y tilsvarer x^(1/x)=y^(1/y). Betrakt funksjonen f(x)=x^(1/x). Finn ut når f er injektiv (f.eks vis at f er synkende eller stigende). Der den ikke er det kan du sjekke for heltallsløsninger. Jeg vet ikke hvor du ligger kunnskapsmessig, men om du har lært kjerneregelen for derivasjon bør denne oppgaven være overkommelig.

[Nebuchadnezzar]

Charlatan jeg forstår dessverre ikke innlegget ditt...

Jeg tegnet f(x) også deriverte jeg funksjonen for å finne der den ikke synker eller stiger. Dette gav

[tex]f^{\tiny\prime}(x)={x^{\frac{1}{x}-2}}\cdot(\ln(x)-1) [/tex]

[tex]f^{\tiny\prime}(x)=0 \; \Leftrightarrow \; x=e[/tex]

Og her er jo ikke e noe heltall, tenker jeg eller du feil her? Tror det er meg...

[Charlatan]

Hvordan ser funksjonen ut for x > e? Hvis x og y > e, dvs x,y >= 3, hva vil det da si at f(x) = f(y) ?

[Thales]

For funskjonen [tex]f(x)=x^{1/x}[/tex]

[tex]f(x)[/tex] stiger fra
[tex]x=0 \Rightarrow f(x)=0[/tex]
til
[tex]x=e \Rightarrow f(x)=e^{1/e}[/tex]
og synker etterpå helt til
[tex]x=\infty \Rightarrow f(x)=1[/tex].

(Dette kan bli bevist via [tex]f^{\tiny\prime}(x)[/tex])

Det betyr at [tex]\forall f(x) \in (1;e^{1/e})[/tex] så finnes det to [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], som tilsvarer å si at [tex]x^{1/x}=y^{1/y}[/tex].
[tex]x \in (1;e) [/tex] og [tex]y \in (e;\infty) [/tex].

[tex]x[/tex] kan bare være 2 fordi det er det eneste heletallet som [tex]\in (1;e)[/tex]

Hvis [tex]x=2 \Rightarrow f(x)=2^{1/2} = 4^{1/4} \Rightarrow y=4[/tex]

Alså har [tex]x^y=y^x[/tex] bare en heltallig løsning, [tex]x=2[/tex] og [tex]y=4[/tex] ([tex]x=4[/tex] og [tex]y=2[/tex])

EDIT: Beklager rotete forklaring, men var litt usikker på hvordan skrive dette bedre

[Charlatan]

Veldig bra, det stemmer. Man kan forøvrig også inkludere x = 1 her, og merke at siden f(x) synker fra e og utover og grenser mot 1 når x går mot uendelig, så må f(x)>1 på (e, [symbol:uendelig] ).