Tenkeoppgave! :S Hjelp

[89caroline]

Finn to positive reelle tall som har summen lik 20, slik at summen av kubikken av det ene og kvadratet av det andre blir minst mulig?

Står helt fast her, så trenger hjelp. Er ikke god på slike oppgaver

[Vektormannen]

Du vet ikke hva tallene er for noe, så kall dem f.eks. x og y. Den første opplysningen er at de skal bli 20 når du legger dem sammen. Kan du sette dette opp som en ligning?

Videre står det at kubikken av det ene lagt sammen med kvadratet av det andre skal bli minst mulig. Kubikk av et tall vil si å opphøye det i tredje. Kvadrat vil si å opphøye i andre. Da skal du altså finne ut når [tex]x^3 + y^2[/tex] er minst mulig. Kan du bruke den første opplysningen til å få et uttrykk med bare én variabel (x eller y)?

[89caroline]

først må det jo bli x + y = 20

på det andre kan man da sette f.eks y = 0 og får x =20
og så sett vi dette inn i den andre du skrev

x^3 + y ^2?

sliter nok fortsatt litt

[Vektormannen]

Det er riktig, at x + y = 20. Er du med på at da må y = 20 - x?

Hvordan blir [tex]x^3 + y^2[/tex] seende ut om du bruker det?

[89caroline]

da blir det jo
x^3 +(20-x)^2
og hvis man regner det ut blir det vel x^3 + x^2 -40x + 400 ?

[89caroline]

da blir det jo
x^3 +(20-x)^2
og hvis man regner det ut blir det vel x^3 + x^2 -40x + 400 ?

[Vektormannen]

Ja, nå har du et uttrykk med bare x, en funksjon. Du kan f.eks. kalle den S(x). Du har altså nå at [tex]S(x) = x^3 + (20-x)^2[/tex], og du vil at denne skal bli minst mulig. Hvordan kan du finne ut når en funksjon er minst?

[89caroline]

derivere da kanskje?

[Vektormannen]

God idé!

[89caroline]

takk
SÅ når jeg da har derivert og funnet x, er svaret i boks?

[89caroline]

Men jeg får ikke to positive tall?
får 10/3 og -4

[Vektormannen]

Nå må du tenke på hva du er ute etter. Du vil finne x slik at S(x) blir minst mulig. Du har nå funnet når den deriverte er 0. Da har du altså funnet hvilke x verdier som er ekstremalpunkter på funksjone, altså topp eller bunnpunkter. Er det et topp- eller bunnpunkt du vil ha?

[89caroline]

bunnpunkt? så hvis jeg da finner bunnpunktet, som er ved x = 10/3
er da riktig å finne y ved å sette 20 - 10/3?

da får vi jo x = 10/3 og y = 50/3 som er to positive tall!?

[Vektormannen]

Helt riktig!

Da har du funnet akkurat det oppgaven spør etter -- to reelle tall som er positive, har summen 20, og som er slik at når kubikken av det ene og kvadratet av det andre legges sammen, får du den minste mulige summen av to slike tall.

Er du med på hvorfor det var et bunnpunkt du var ute etter?

[89caroline]

Fordi det var minste vi skulle finne?
Hadde det blitt toppunkt om det var største verdi?