Oppgave om derivasjon

[Vidar12]

Står litt fast på en oppgave her. Oppgaven handler om en figur som består av et rektangel og en halvsirkel, der halvsirkelen er plassert over den korteste siden. Man får oppgitt at omkretsen er 10. Ut fra det skal man finne lengdene av sidene i rektangelet når figurens areal skal være størst mulig. Tror jeg vet hvordan man skal gå frem, men av en eller annen grunn får jeg feil svar.

Setter pris på raske og gode svar.

[Aleks855]

Få se hva du selv har prøvd da, så blir det lettere å hjelpe deg, heller enn å bare løse den for deg

[Per Spelemann]

Kort fortalt er ideen å uttrykke figurens areal f.eks. vha. halvsirkelens radius.
Si at A(r) er arealet.
Vi vil ha maksimalt areal når A'(r) = 0 eller på et endepunkt.
Dette gir oss r = …
Altså blir sidene til rektangelet …

[Vidar12]

Min fremgangsmåte: (skriver ikke all mellomregningen)

Kaller kortsiden x, og langsiden y.

Omkretsen av figuren er da:

10 = 2y + x + ( [symbol:pi] * x)/2

Løser for y:

y = 5 - x/2 - ( [symbol:pi] * x)/4

Arealet av figuren gis ved:

A = xy + [symbol:pi] * (x/2)^2 = xy + [symbol:pi] * (x^2)/4

Setter inn for y i arealuttrykket:

A = x (5 - x/2 ) - ( [symbol:pi] * x)/4) + [symbol:pi] * (x^2)/4

A = -0,5x^2 + 5x

A(x) = -0,5x^2 + 5x

A'(x) = -x + 5

Og herfra ser jeg at når jeg skal finne nullpunktene til A'(x), ser jeg at arealet har en maksverdi for x=5

Fra fasiten ser jeg at ingen av sidene skal være 5. Mener da at jeg er skummelt nære? Jeg tror hvert fall jeg har fremgangsmåten inne.

[Per Spelemann]

Stort sett riktig dette, men du har tatt arealet av en helsirkel og ikke en halvsirkel. Altså er:

[tex] A \, = \, xy \, + \, \frac{ \pi \, \cdot \, (\frac{x}{2})^2 }{ 2 } [/tex]