Derivasjon 1

[wagashi]

5.3 a)

[tex]\displaystyle \frac{3x}{x^2+2x} = \frac{3x}{x(x+2)} = \frac{0}{2}[/tex] når x går mot 0

Fasiten: 3/2.

Betyr det at jeg skal altså dele 3x med x utenfor faktor i nevneren, slik at det blir 3/2, har jeg forstått det riktig?

5.4
a) [tex]\displaystyle \frac{x^2 - 9}{x^2-2x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+1)} =[/tex] Jeg deler (x-3) i telleren med (x-3) i nevneren for å få dem bort
[tex]\displaystyle \frac{3+3}{3-1}[/tex] når x går mot 3,
da blir det 6/2, men fasiten er 3/2.

d) [tex]\displaystyle \frac{x^3-27}{x-3} = \frac{(x^2-3x+9)(x-3)}{(x-3)} =[/tex] Jeg deler faktoren (x -3) i telleren med faktoren (x-3) i nevneren for å få dem bort, da blir det
[tex]\displaystyle 3^3-3*3+9[/tex], da blir det 9, men fasiten er 27.


5.14 b) [tex]\displaystyle f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex]

[tex]\displaystyle \frac{1}{3}^{x^\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt{x}}[/tex]

Fasiten sier [tex]\displaystyle \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}[/tex], hvordan skulle jeg komme fram til dette svar?

[Aleks855]

5.3 a)

[tex]\frac{3x}{x^2+2x} = \frac{3x}{x(x+2)} = \frac{0}{2}[/tex] når x går mot 0

Fasiten: 3/2.

Betyr det at jeg skal altså dele 3x med x utenfor faktor i nevneren, slik at det blir 3/2, har jeg forstått det riktig?

5.4
a) [tex]\frac{x^2 - 9}{x^2-2x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+1)} =[/tex] Jeg deler (x-3) i telleren med (x-3) i nevneren for å få dem bort
[tex]\frac{3+3}{3-1}[/tex] når x går mot 3,
da blir det 6/2, men fasiten er 3/2.

d) [tex]\frac{x^3-27}{x-3} = \frac{(x^2-3x+9)(x-3)}{(x-3)} =[/tex] Jeg deler faktoren (x -3) i telleren med faktoren (x-3) i nevneren for å få dem bort, da blir det
[tex]3^3-3*3+9[/tex], da blir det 9, men fasiten er 27.


5.14 b) [tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex]

[tex]\frac{1}{3}^{x^\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt{x}}[/tex]

Fasiten sier [tex]\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}[/tex], hvordan skulle jeg komme fram til dette svar?

[tex]\frac{3x}{x(x+2)} \ = \ \frac3{x+2} \ \Rightarrow \ \frac32[/tex] når x går mot 0.

[tex]\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \frac{x+3}{x+1} \ \Rightarrow \ \frac64 = \frac32[/tex] når x går mot 3

[tex]3^3 - 9 + 9 = 27 - 9 + 9 = 27[/tex] siden det er ingen parenteser. -9 og +9 utlikner hverandre.

[tex]\sqrt[3]x = x^{\frac13} \ \Rightarrow \ \frac13 x^{-\frac23} = \frac13 \cdot \frac1{x^{\frac23}} = \frac13 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac1{3\sqrt[3]{x^2}}[/tex]

[Vektormannen]

Ultrapirk: bruk \rightarrow ([tex]\rightarrow[/tex]) for å si "går mot". [tex]\Rightarrow[/tex] er implikasjon. For at brøkene ikke skal bli kjempesmå kan man også bruke \displaystyle i starten av tex-uttrykket. Da får man eksempelvis [tex]\displaystyle f(x) = \frac{3x}{x(x+2)}[/tex] i stedet for [tex]f(x) = \frac{3x}{x(x+2)}[/tex]. Jeg vet ikke om \displaystyle er den "riktige" / beste / enkleste måten å gjøre det på, men det funker hvertfall.

[Enrahim]

5.4 d) er feilfaktorisert. Det skal være pluss på alle leddene i andre grads uttrykket.

[wagashi]

5.4 d) er feilfaktorisert. Det skal være pluss på alle leddene i andre grads uttrykket.

Du har rett!

[wagashi]

Ultrapirk: bruk \rightarrow ([tex]\rightarrow[/tex]) for å si "går mot". [tex]\Rightarrow[/tex] er implikasjon. For at brøkene ikke skal bli kjempesmå kan man også bruke \displaystyle i starten av tex-uttrykket. Da får man eksempelvis [tex]\displaystyle f(x) = \frac{3x}{x(x+2)}[/tex] i stedet for [tex]f(x) = \frac{3x}{x(x+2)}[/tex]. Jeg vet ikke om \displaystyle er den "riktige" / beste / enkleste måten å gjøre det på, men det funker hvertfall.

Takk for tipsene å skrive med LaTeX er litt tungvint, men uttrykkene blir lettleselige for meg og andre

[wagashi]

5.3 a)

[tex]\frac{3x}{x^2+2x} = \frac{3x}{x(x+2)} = \frac{0}{2}[/tex] når x går mot 0

Fasiten: 3/2.

Betyr det at jeg skal altså dele 3x med x utenfor faktor i nevneren, slik at det blir 3/2, har jeg forstått det riktig?

5.4
a) [tex]\frac{x^2 - 9}{x^2-2x-3} = \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+1)} =[/tex] Jeg deler (x-3) i telleren med (x-3) i nevneren for å få dem bort
[tex]\frac{3+3}{3-1}[/tex] når x går mot 3,
da blir det 6/2, men fasiten er 3/2.

d) [tex]\frac{x^3-27}{x-3} = \frac{(x^2-3x+9)(x-3)}{(x-3)} =[/tex] Jeg deler faktoren (x -3) i telleren med faktoren (x-3) i nevneren for å få dem bort, da blir det
[tex]3^3-3*3+9[/tex], da blir det 9, men fasiten er 27.


5.14 b) [tex]f(x) = \sqrt[3]{x}[/tex]

[tex]\frac{1}{3}^{x^\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt{x}}[/tex]

Fasiten sier [tex]\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}[/tex], hvordan skulle jeg komme fram til dette svar?

[tex]\frac{3x}{x(x+2)} \ = \ \frac3{x+2} \ \Rightarrow \ \frac32[/tex] når x går mot 0.

[tex]\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)(x+1)} = \frac{x+3}{x+1} \ \Rightarrow \ \frac64 = \frac32[/tex] når x går mot 3

[tex]3^3 - 9 + 9 = 27 - 9 + 9 = 27[/tex] siden det er ingen parenteser. -9 og +9 utlikner hverandre.

[tex]\sqrt[3]x = x^{\frac13} \ \Rightarrow \ \frac13 x^{-\frac23} = \frac13 \cdot \frac1{x^{\frac23}} = \frac13 \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = \frac1{3\sqrt[3]{x^2}}[/tex]

De to første svarene skjønte jeg nå.

I det tredje svaret, hvor kommer -9 og + 9 fra? Som enrahim skrev, har jeg utført polynomdivisjon feil, for andregradsuttrykket skal være x^2 + 3x + 9, ikke x^2 - 3x + 9.

Det fjerde svaret, kan du forklare meg hvilke regler du brukte? Jeg skjønner ikke helt hvordan du kom fram til at kvadratrot har fått 3 på seg selv som dette uttrykk [tex]\sqrt[3]{x}[/tex] (hva kalles det?)

[fuglagutt]

Det tredje svaret blir korrekt om du bruker, som du sier, den korrekte polynomdivisjonen;

[tex]\lim_{x \to 3}\frac{x^3-27}{x-3} = \lim_{x \to 3}{x^2+3x+9} = 27[/tex]

På den tredje oppgaven blir først roten gjort om til en potens, med den generelle regelen:

[tex]\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}[/tex]

På den formen så har du de generelle reglene for polynomderivasjon, altså at man multipliserer med potensen (før derivering) og trekker 1 fra potensen, slik at her får vi;

[tex]f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}[/tex]

Som gir

[tex]f^\prime (x) = \frac{1}{3}x^{\frac{-2}{3}}[/tex]

Til slutt er det bare å flytte x'en under brøkstreken, da endres fortegnet på potensen. Deretter kan man gjøre om til rotform igjen