Vektor

[Test1111]

I trapeset ABCD er AB parallell DC. Videre er vinkel A=60grader, AB=4, AD=3, og DC=6.

Hvordan finner jeg vinkel ABC ved vektorregning?

[Eirik Fyhn]

For å løse denne må du finne BC-vektor. Dersom vi sier at AB-vektor er parallell med x-aksen, kan den skrives som [4 , 0]. Dermed blir DC-vektor=[6 , 0].

Nå blir utfordringen å finne BC-vektor. For å gjøre det må vi først finne AD-vektor. Siden vi vet at vinkel A er 60 grader, kan vi se at trekanten som dannes av A, D og det punktet der normalen fra D ned på AB krysser AB (altså trekanten som dannes av AD-vektor og x- og y-komponenten til AD-vektor) er en 30-60-90 trekant. Som vil si at lengden til det minste katetet er halvparten av hypotenusen (siden cos60=1/2). Da har vi at AD-vektor=[1,5 , y]. Det er gitt at lengden til AD-vektor er 3.

[tex]\left | \overrightarrow{AD} \right | = 3[/tex]
[tex]\sqrt{(1,5)^2+y^2} = 3[/tex]
[tex](1,5)^2+y^2 = 9[/tex]
[tex]y^2 = 9-(1,5)^2[/tex]
[tex]y = \sqrt{\frac{27}{4}}[/tex]

[tex]\overrightarrow{AD} = [1,5 , \sqrt{\frac{27}{4}}][/tex]

Så kan vi finne et utrykk for BC-vektor.

[tex]\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DC}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BC} = [6,0]-[4,0]+[1,5,\sqrt{\frac{27}{4}}][/tex]
[tex]\overrightarrow{BC} = [3,5,\sqrt{\frac{27}{4}}][/tex]

Til slutt finner vi vinkelen mellom BA-vektor og BC-vektor.

[tex]Cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{BA}*\overrightarrow{BC}}{\left | \overrightarrow{BA} \right |*\left | \overrightarrow{BC} \right |}[/tex]
[tex][tex][/tex]Cos(\alpha)=\frac{[-4,0]*[3,5,\sqrt{\frac{27}{4}}]}{\sqrt{(-4)^2}*[tex]Cos(\alpha)=\frac{-4*3,5}{4*\sqrt{(3,5)^2+(\sqrt{\frac{27}{4}})^2}}[/tex]
}[/tex]

[tex]\alpha=143,4^{\circ}[/tex]

Svaret blir altså at vinkel ABC er 143,4 grader

[Lærer Gunnar]

Dette er feil