R1 eksamen

[Sondreaasen]

Noen meninger om høst eksamen i R1?

[∂elta]

Jeg kan godt dele mine svar om du deler dine

[Sondreaasen]

.

[Sondreaasen]

Fjerner bildene, janhaa lå ut eksamen.

[∂elta]

Hva fikk du på oppgave 5? på a) fikk jeg 20,5% og 43,5%. b) Ja de er uavhengige, 32%. c) 64%. Oppgave 7 fikk jeg x = 10 000.På oppgave 6 fikk jeg vinklen bad til å bli 45%, og arealet 26 (tror jeg gjorde feil her).

Generelt synes jeg eksamen var ok, men jeg måtte sitte helt tiden var ute. Litt lang kanskje?

[Sondreaasen]

Oppg 5, a)

P(M snitt F)=P(M)+P(F)-P(M union F)

Oppg 6 bruke jeg bare geogebra..

[Janhaa]

R1-H2013

[Gjestenenenenen]

Noen som vet når vi får vite karakterene??

[Sondreaasen]

Tror det var snakk om 3 eller 4 januar

[M0ffe]

Forholdsvis ok eksamen. Blir artig å se sensorveiledningen. tror vanskelighetsgraden var ok, men arbeidsmengden stor... Der jeg tok eksamen, en full handballhall, var det kanskje 3-5 stykker som begynte å levere før fem på 2. Selv gikk det veldig bra men rakk ikke bli ferdig med oppgave 7.

[Sondreaasen]

Aldri tatt privatist eksamen før, men må si jeg er veldig imponert over hvor bra organisert alt var

[Nebuchadnezzar]

R1 Eksamen - H13
28.11.13

Del II

Oppgave 1

a)
$
f'(x) = 2 \cdot 3e^{3x} = 6 \cdot e^{3x}
$

b)
Produktregel gir.
$
f'(x) = (2x)' \ln(3x) + 2x (\ln(3x))' = 2 \ln(3x) + 2x \cdot \frac{3}{3x} = 2(1 + \ln 3x)
$

c) $f'(x) = 2 \cdot 3e^{3x} = 6 \cdot e^{3x}$
$
h'(x) = \frac{(2x-1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{ 3 }{(x+1)^2}
$


Oppgave 2

a)
$
P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0
$
Alternativt
$P(x) = x^3 - x^2 - 5x^2 + 11x - 6 = x^2(x-1) - (x-1)(5x-6)$
Så $P(x)$ er delbart på $x-1$

a)
$
P(x) = x^2(x-1) - (x-1)(5x-6) = (x-1)(x^2 - 5x - 6) = (x-1)(x-2)(x-3)
$

Fra fortegnslinje ser en at

$P(x) \geq 0$ for $1 \leq x \leq 2$ og $x \geq 3$.


Oppgave 3

Bruk linjal eller passer og lag en linje som er $10$ cm.
Slå deretter en halvbue, med diameter AB. Dette er appolynius sirkel
og hvis C ligger på sirkelen danner den 90 grader med AB.
Konstruer en paralell linje til AB, med avstand 4 cm.
Dette ka gjøres ved eksempelvis å oppreise en normal fra A.
Skjæringspunktet mellom den parallelle linja og halvsirkelen er hvor C kan være. Blir to punkter.

Oppgave 4

$
2^{3x - 1} = 4 \cdot 2^2 = 2^{4}
$
Så $3x - 1 = 4$, altså er $x=5/3$.

Oppgave 5

b)
$
u = [1,3] + 2[3,2] = [7,7] \\
v = [3,2] - 2[-1,2] = [5,-2] \\
$
$u \bot v = 7\cdot 5 - 7 \cdot 2 = 7(5-2) = 21$
Så $v$ og $u$ er ikke paralelle.

Oppgave 6

a)
$
f'(x) = -x^2 + 4x = x(4-x)\\
f''(x) = -2x + 4 = 2(2-x)
$

a)
$
f'(x) = x(4-x)
$

Videre så er $f(0)=0$ og $f(4) = 32/3 = 10 + 2/3$.
Dobbelderiverte er $f''(0) = 4 > 0$ og $f''(4) = -4 < 0$.
Dermed så er $(0,0)$ et bunnpunkt og $(4 , 10 + 2/3)$ et
toppunkt, pga de dobbelderiverte.

Vendepunktet til funksjonen er når $f''(x) = 0$ så $x=2$.
Så vendepunktet er $(2,5 + 1/3 )$. Der $f(2) = 16/3 = 5 + 1/3$.

c)

Orker ikke skisse men en fortegnslinje gir at dette skjer når



Så $f''(x)<0$ og $f'(x)>0$ når $2 < x < 4$

Oppgave 7

Sirkel 1 har radius $5$ og sentrum i (0,0)
Sirkel 2 har radius $3$ og sentrum i (6,0)

Den lille sirkelen kan tangerere den store sirkelen både
innvendig og utvendig. Det kan bli gjort på både høyre og venstr side
altså

$a = \pm R \pm r = \pm 5 \pm 3$ vil fungere. Eksplisitt så -8, -2, 2 , 8.

Del II

Oppgave 1

a)

Funksjonen har samenfallede nullpunkter ser at
$f(2) = 0$ og $f'(x) = 4(x-2)$ som og er null når $x=0$.
Så $f(x)$ må være på formen $f(x) = k (x-2)^2$.
For å bestemme konstanten $k$, legg merke til at
$f(0) = 8$ så $8 = 4k \ \Rightarrow \ k = 2$.

b)

Tilsvarende som før funksjonen må være på formen
$
f(x) = k(x-3)^2(x+1)
$
Siden den har nullpunkter i $x=3$ og $x-1$.
Videre så får vi en ekstra $(x-3)$ faktor, siden funksjonen tangerer $x-aksen her$. For å bestemme konstanten se at $g(0) = 9$ så
$
9 = 9k
$
og $k = 1$.

c)

$
h(x) = k (x-2)^2(x+2)^2
$

For å bestemme konstanten $k$ se at
$h(0) = 8$ så $8 = 8k$ og $k=1$.

Oppgave 2

$
f(x = \frac{2x-1}{x+1}
$
Legg merke til at nevner er udefinert for $x=-1$
så $x = 1$ er en vertikal asymptote. Ved å skrive om funksjonen
og se på hva som skjer når $x$ vokser iver alle støvleskaft fås

$
\lim_ {x \to \infty } \frac{ 2 - 1/x }{ 1 + 1/x } = 2
$

Så når funksjonen vokser vil den gå mot $y=2$.
Funksjonen har altså den horisontale asymptoten $y=2$.

c)

$
f - g = \frac{2x-1}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1}
= \frac{2x - x^2}{x+1}
$

Dermed så er enten $x = 0$ eller $x=2$.

Oppgave 3

a)
Arealet av rektangelet er gitt som
$
A = l \cdot h = (12-x) f(x) = -x^3 + 12x^2 - 21x + 252
$
Som ønsket.

b)
$
A'(x) = -3x^2 + 24x - 21 = -3(x^2 + 8x + 7) = -3(x-1)(x-7)
$
Som ønsket. Videre så er $A''(x) = 6(4-x)$, og $A(1)>0$, $A(7)>0$.
Så største verdi er $A(7) = 350$.
Minste verdi er $A(1) = 252$.

Gidder ikke tegne, yolo.

Oppgave 4

$A = (-r,0)$ og $B = (r,0)$

Videre så er $PA = [x + r,y]$ og $PB = [x - r,-y]$.
APB er 90 grader dersom $PA$ og $PB$ står vinkelrett på hverandre. Nå er
$
PA \bot PB = [x + r,y] \cdot [x - r,y] = x^2 - r^2 + x^2 = 0
$
Uttrykket er selvsagt null siden per definisjon så er $x$ og $y$ slik at
$x^2 + y^2 = r^2$. Ellers ligger ikke punktene på sirkelen.

Oppgave 5

Oppgave 6

Oppgave 7

[Sondreaasen]

Kan ikke sirklene tangere hverandre i -8 og -2 også?

[∂elta]

På oppgave 3, så fikk jeg at bunnpunktet var ved x = 1, og topppunktet var ved x = 7, satt inn f(1) og f(7) og fikk 252 og 350 elns. Men på c) når man tegner grafen, ser man jo at arealet er mindre ved x = 11. Spørsmålet er, siden det står i b) at du skal regne ut arealet ved hjelp av a'(x), var det riktig at jeg da brukte bunnpunktet x = 1 som det minste arealet rektangelet kunne ha? Så skrev jeg i c) at det jeg fann i b for det minste arealet var feil, men det største stemte.

[Nebuchadnezzar]

Noen andre får fullføre, orker ikke mer / har andre ting som å gjøres =)