Parallelle vektorer uten koordinater

[Jensen]

I (trekant)ABC setter vi AB-vektor=a-vekotr og ACvektor=b-vektor

Punktene P og Q er bestemt ved at

BP-vektor=3/4 BC-vektor og AQ-vektor=1/4 AB-vektor

Skjæringspunktet mellom linjene AP og CQ kaller vi S

a) FInn AP uttrykt ved a-vektor og b-vektor
b) Finn CQ-vektor uttrykt ved a-vektor og b-vektor
c) Forklar at
AS-vektor=xAP-vektor
og
AS-vektor=AC-vektor+yCQ
x og y =reelle tall


d) Bruk oopgave c til å finne AS-vektor uttrykt ved a-vektor og b-vektor

Trenger hjelp til oppgave c og d


Fasit:
a) 1/4a+3/4b
b) 1/4a-b
d) AS=1/7a+3/7b

[compound]

xAP=b+yCQ

x(1/4a+3/4b)=b0y(1/4a-b)

1/4ax+3/4 bx=b+1/4ay-by

1/4ax-1/4ay=b-by-3/4bx

a(1/4x-1/4y)=b(1-y-3/4x)

(1/4x-1/4y)=0 *3
(1-y-3/4x)=0

3/4x-3/4y=0
-3/4x-y=-1

-7/4y=-1

y=4/7

1/4x-1/4*4/7

1/4x=1/7

x=4/7

Så bare setter du inn x=4/7 i AS=xAP eller du kan sette inn y=4/7 i AS=b+yCQ

[Gjest]

Hei!
Jeg prøver også å forstå denne oppgaven
Setter vi xAP=AC+yCQ for å finne uttrykket for AS? Er det det som er hovedpoenget med at vi setter uttrykkene lik hverandre?

Og hvorfor blir settes hvert av uttrykkene lik 0 mot slutten? Altså, hvorfor
1/4x-1/4y=0??
1-y-3/4x=0??
Hvor kom plutselig denne nullen fra?

Vær så snill, hjelp meg å forstå!

[DennisChristensen]

Hei!
Jeg prøver også å forstå denne oppgaven
Setter vi xAP=AC+yCQ for å finne uttrykket for AS? Er det det som er hovedpoenget med at vi setter uttrykkene lik hverandre?

Og hvorfor blir settes hvert av uttrykkene lik 0 mot slutten? Altså, hvorfor
1/4x-1/4y=0??
1-y-3/4x=0??
Hvor kom plutselig denne nullen fra?

Vær så snill, hjelp meg å forstå!

Fra (a) har vi at $\vec{AP} = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}$ og fra (b) har vi at $\vec{CQ} = \frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}.$

(c) Ettersom $A, S$ og $P$ er kolineære er $\vec{AP}$ og $\vec{AS}$ parallelle. Dermed finnes det en $x\in\mathbb{R}$ slik at $\vec{AS} = x\vec{AP}$.
Vi vet også at $C, S$ og $Q$ er kolineære, så $\vec{CS}$ og $\vec{CQ}$ er parallelle. Dermed finnes det en $y\in\mathbb{R}$ slik at $\vec{CS} = y\vec{CQ}$.
$\therefore y\vec{CQ} = \vec{CA} + \vec{AS} = \vec{AS} - \vec{AC}$. $\text{ }\therefore \vec{AS} = \vec{AC} + y\vec{CQ}$.


(d) Fra (c) vet at $$\vec{AS} = x\vec{AP} = x\left(\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b}\right) = \frac{x}{4}\vec{a} + \frac{3x}{4}\vec{b},$$
og at $$\vec{AS} = \vec{AC} + y\vec{CQ} = \vec{b} + y\left(\frac{1}{4}\vec{a} - \vec{b}\right) = \frac{y}{4}\vec{a} + \left(1-y\right)\vec{b}.$$

Disse uttrykkene for $\vec{AS}$ er like, og derfor må koeffisientene til $\vec{a}$ og $\vec{b}$ være like. Dermed har vi at $\frac{x}{4} = \frac{y}{4}$, altså at $x=y$. Ser vi nå på koeffisientene til $\vec{b}$ får vi at $\frac{3x}{4} = 1 - y = 1 - x$, så $1 = \frac{3x}{4} + x = \frac{7x}{4}$. Altså er $x = y = \frac{4}{7}$ og substituerer vi dette inn i ett av uttrykkene for $\vec{AS}$ får vi at $$\vec{AS} = \frac{1}{7}\vec{a} + \frac{3}{7}\vec{b}.$$