Eksamen S2 vår 2015

[Vaktmester]

Her er oppgaven:

20150520133418156.pdf

(2.78 MiB) Lastet ned 2804 ganger

Besvarelsen vil (forhåpentligvis) snart ligge her: http://matematikk.net/side/S2_2015_v%C3 ... C3%98SNING

[Nebuchadnezzar]

Eksamen S2 - Vår 2015

Del I - 3 timer


Oppgave 1


a)
$ \hspace{1cm}
f'(x) = (-2x)' e^{-2x} = -2e^{-2x}
$

b)
$ \hspace{1cm}
g(x) = \left( x - \frac{1}{x} \right)' = 1 + \frac{1}{x^2}
$

c)
$ \hspace{1cm}
f'(x)
= [(3x+2) e^x]'
= (3x+2)'e^x + (3x+2)(e^x)'
= 3e^x + (3x+2)e^x
= (3x+5)e^x
$


Oppgave 2


a)

Fra figur så er $f(x) = (x+3)(x+1)(x-3)$

a)

Merk at $f(3) = 0$. Ved å sette inn blir da

$ \hspace{1cm}
f(3) = (3)^3 + (3)^2 + k(3) + k
= 27 + 9 + 3k + k
$

Dermed så er $36 + 4k = 0$ så $k = 9$.


Oppgave 3


a) At en rekke er aritmetisk betyr at det er en fast avstand mellom to påfølgende ledd. Med andre ord så er $a_1 - a_ 2 = a_3 - a_ 2 = \cdots = d$.
Hvor d er konstant.

b)

Øverste rad inneholder 1 murstein, neste inneholder 2 osv. Dette kan skrives som

$ \hspace{1cm}
S = 1 + 2 + 3 + \cdots + 19 + 20
$

Men vi kunne og ha begynte å summere ved $20$, altså $S = 20 + 19 + \cdots$.
Summen kan altså skrives som

$ \hspace{1cm}
\begin{array}{rcr}
S & = & \phantom{2}1 + \phantom{1}2 + \cdots + 19 + 20 \\
+ S & = & 20 + 19 + \cdots + \phantom{1}2 + \phantom{2}1 \\
2S & = & 21 + 21 + \cdots + 21 + 21 \\
\end{array}
$

Dermed så er $ S = \frac{21 \cdot 20}{2} = 210$. Merk at dette kunne vi også fått direkte ved å bruke sumformelen for de første n naturlige tallene (som blir utledet på samme måte som ovenfor)

$ \hspace{1cm}
\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
$


Oppgave 4


a)

Siden $0.5 = 5/10$, så er $0.05 = 0.5/10 = 5/10^2$ hver gang vi deler på
$10$ flytter vi komma en plass. Siden vi har $0.555$ så summerer vi alle disse bidragene. Ved å beregne summen har vi

$ \hspace{1cm}
S = \sum_{k=0}^\infty \frac{5}{10^{k+1}}
= \frac{5}{10} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{10} \right)^k
= \frac{1}{2} \frac{1}{ 1 - 1/10 }
= \frac{1}{2} \frac{10}{10 - 1}
= \frac{5}{9}
$

Som var det som skulle vises. Her ble sumformelen for den geometriske rekken brukt. Altså $\sum_{k=0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x}$. Dersom $|x|<1$.

b)

tilsvarende som ovenfor kan en skrive

$ \hspace{1cm}
y = 0.2323\ldots= \frac{23}{100} + \frac{23}{100^2} + \cdots
$

Helt tilsvarende som i forrige oppgave kan en da skrive

$ \hspace{1cm}
S = \sum_{k=0}^\infty \frac{23}{100^{k+1}}
= \frac{23}{100} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{1}{100} \right)^k
= \frac{23}{100} \frac{1}{ 1 - 1/100 }
= \frac{23}{100} \frac{100}{100 - 1}
= \frac{23}{99}
$


Oppgave 5


a)

Dersom $x=-1$ er et nullpunkt betyr dette at $f(-1) = 0$ så

$ \hspace{1cm}
f(-1) = (-1)^3 + 6(-1)^2 + 9(-1) + 4 = (-1) + (6) - 9 + 4 = 0
$

b)

Eventuelle toppunkt og bunnpunkt er hvor $f'(x)=0$ og $f''(x) \neq 0$. Derivasjon gir

$ \hspace{1cm}
f'(x) = 3x^2 + 12x + 9 = 3(x^2 + 4 + 3) = 3(x+1)(x+3)
$

For å se den siste faktoriseringen kan en slavisk bruke andregradsformelen.

$ \hspace{1cm}
x
= \frac{ -4 \pm \sqrt{ (4)^2 + 4(1)(3) }}{2(1)}
= -2 \pm \frac{1}{2}\sqrt{4}
= -2 \pm 1
$

Eller en kan se at $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$. Så en trenger å finne to tall slik at $a+b=4$ og $ab = 3$, med andre ord må $a=3$ og $b=1$.

Nå er $f''(x) = 2x-4 = 3(2x+4)$ som ikke er null for $x=-3$ eller $x=-1$.
Bunnunktet blir da $\bigl( -1 , f(-1) \bigr) = (-1,0)$
Toppunktet blir da $\bigl( -3 , f(-3) \bigr) = (-1,4)$

Siden $f''(-1) > 0$så er dette et bunnpunkt, og siden $f''(-3)<0$ så er dette et toppunkt.

c)

Vi har funnet ut at $f''(x) = 6(x+2)$ så eventuelle vendepunkter er hvor $f''(x) = 0$
og $f'''(x) \neq 0$ siste kraver er åpenbart siden den fjerdederiverte er konstant.
Vendepunktet blir altså $\bigl(-2, f(-2)\bigr) = (-2,2)$.

d)

Stress... Husk å markere alle vesentlige punkter, skrive på funksjonsnavn, og markere aksene.




Oppgave 6


a) Den totale sannsynligheten skal alltid være $1$ (ett av utfallene må jo skje).
Dermed så er $a + b + c = 1$. Forventingsverdien er jo vekten eller med andre ord $x \cdot P(x)$. Slik at $\frac{1}{2} = E(x) = 0 \cdot a + 1 \cdot b + 2 \cdot c = b + 2c$. For forventingsverdien er det vel bare å huske formelen

$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
V(x) & = \sum_{k=0}^2 P(k) (x - E(x))^2 \\
& = a \cdot \left( 0 - \frac{1}{2}\right)^2
+ b \cdot \left( 1 - \frac{1}{2}\right)^2
+ c \cdot \left( 2 - \frac{1}{2}\right)^2 \\
& = \frac{a}{4} + \frac{b}{4} + \frac{9}{4}
\end{align*}
$

Siden $Var(x) = 1/2$ kan vi bare gange likningen med 4 for å få nederste likning i likningssystemet.

b)

Ved å ta III - I (hvor I betegner første likning og III betegner tredje) får vi

$ \hspace{1cm}
8c = 1
$

Med andre ord så er $ c = 1/8$. Vi kan videre sette denne verdien inn i likning II. Da er
$b = 1/2 - 2c = 1/2 - 1/4 = 1/4$. Som innsatt i første likning gir

$ \hspace{1cm}
a = 1 - b - c = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}
$

Oppsumert så er $a = 5/8$, $b = 1/4$ og $c = 1/8$. På en eksamen anbefales det å sette inn å sjekke at verdiene faktisk oppfyller likningssystemet.


Oppgave 7


a)

Her tok jeg $\frac{100 - 90}{20} = 1/2$ for å normalfordele i forhold til tabell.
Ut i fra tabell finner jeg da $z = -0.5$ og ser at sannsynligheten er $0.3085$. Siden vi skal ha mindre enn.

a)

for mellom $90$ og $100$ må $-0.5<z<0.5$. Med andre ord må en ta

$ \hspace{1cm}
P(z<0.5) - P(x<-0.5) = P(-0.5<z<0.5) = 0.3829
$

Er vel 4-5 år siden jeg har hatt statistikk, så gjerne noen med mer peiling og pedagogiske evner kan få fikse på denne oppgaven =)


Oppgave 8


For den første funksjonen

$ \hspace{1cm}
f(x) = \frac{ 100 }{ 1 + e^{-x} } - 25
$

Ser vi at $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -25$. Siden da vokser eksponentialfunksjonen mot uendelig og "dreper" brøken ($1/e^x$ og $e^x$ blir kjempestor). Så den første funksjonen
må være (4).

Ved å se på den andre funksjonen kan vi se at når $x$ blir kjempestor går funksjonen mot $100$. Dette skjer fordi $\lim_{x \to \infty} e^{-x} = \lim_{x\to\infty} 1/e^x = 0$ med andre ord

$ \hspace{1cm}
\lim_{x \to \infty} f(x)
= \lim_{x \to \infty} \frac{ 100 }{ 1 + e^{-(x-5)} }
= \frac{ 100 }{ 1 + 0 } = 100
$

Så den andre funksjonen må være $(1)$ siden den er den eneste logistiske funksjonen som flater ut ved 100.