bevisoppgave r1

[Gustav]

x må være på formene

x=3n+1=3n+3-2=3(n+1)-2

x=4m+2=4m+4-2=4(m+1)-2

x=5k+3=5(k+1)-2

x=6l+4=6(l+1)-2

Så når vi deler x på 3,4,5 og 6, må vi alltid få -2 i rest.

Vi ser at dersom x er på formen x=3*4*5*6*y-2 for et heltall y, så vil vi få -2 i rest når vi deler med 3,4,5 og 6. Men vi ser også at vi ikke behøver å ha med 6 som faktor i første ledd, siden 3*4 allerede er delelig med 6. Dermed vil alle x på formen x=3*4*5*y-2 gi den ønskelige resten når vi deler med 3,4,5 og 6.

Håper dette var mer forståelig:)

[Drezky]

Prøver selv:
Oppgave: Finn et fjerdegradspolynom som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer det med (x+3), 2 i rest når vi dividerer det med (x+4), 3 i rest når vi dividerer det med (x+5), og 4 i rest når vi dividerer det med (x+6)


x=(x+3)+1=x+4=(x+6)-2
x=(x+4)+2=x+6=(x+8)-2
x=(x+5)+3=x+8=(x+10)-2
x=(x+6)+4=x+10=(x+12)-2

Altså x=-2 når mod (x+3), (x+4), (x+5), og (x+6). Dvs. resten blir -2
Når x= (x+3)*(x+5)*(x+4)*(x+6)*(x-2) får vi det ønskede tallet?

Dette tallet ser ut til å stemme etter å ha sett prøve på svaret..

Men her behøver vi ikke å ha med (x+3) ? siden det allerde er delelig med (x+4)*(x+6)? Kan jeg like så godt da (x+4)*(x+5)*(x+6).
Eller tar jeg feil? fordi når jeg utfører polynomdivisjon mellom (x+4)(x+6)/(x+3). Jeg subsituerer x for -3 og får 3 i rest. dermed går ikke 3 opp i andregradslikningen, og er såledesi ikke delelelig. Dvs, man kan ikke ta vekk (x+3). korrekt?

[Gjest]

x må være på formene

x=3n+1=3n+3-2=3(n+1)-2

x=4m+2=4m+4-2=4(m+1)-2

x=5k+3=5(k+1)-2

x=6l+4=6(l+1)-2

Så når vi deler x på 3,4,5 og 6, må vi alltid få -2 i rest.

Vi ser at dersom x er på formen x=3*4*5*6*y-2 for et heltall y, så vil vi få -2 i rest når vi deler med 3,4,5 og 6. Men vi ser også at vi ikke behøver å ha med 6 som faktor i første ledd, siden 3*4 allerede er delelig med 6. Dermed vil alle x på formen x=3*4*5*y-2 gi den ønskelige resten når vi deler med 3,4,5 og 6.

Håper dette var mer forståelig:)

Der var mønsteret jeg lette etter, men aldri fant . Samtidig er det jo også derfor jeg er gjest so noone will ever know... mehehe. Uansett takk for forklaringen.

Men her behøver vi ikke å ha med (x+3) ? siden det allerde er delelig med (x+4)*(x+6)? Kan jeg like så godt da (x+4)*(x+5)*(x+6).
Eller tar jeg feil? fordi når jeg utfører polynomdivisjon mellom (x+4)(x+6)/(x+3). Jeg subsituerer x for -3 og får 3 i rest. dermed går ikke 3 opp i andregradslikningen, og er såledesi ikke delelelig. Dvs, man kan ikke ta vekk (x+3). korrekt?

Korrekt. Man kan ikke ta bort (x+3).
(x+6) er ikke en faktor i (x+3), eller sagt på en annen måte: Du kan ikke forkorte (x+6) med (x+3) (eller omvendt for den saks skyld). Selv om 6 er delelig på 3 og 2 betyr det ikke at x+6 er delelig på x+3 og x+2.
På den annen side så kan plutarco la være å ta med 6 fordi 6 = 3*2, eller sagt på en annen måte: Du kan forkorte 6 med både 3 og 2. Har man alt delt på 3 og 2 så har man automatisk også delt på 6. Har man alt delt på 6 så har man automatisk delt på 3 og 2.

Også sier du at du substituerer x med -3 og dividerer (x+4)(x+6)/(x+3)... da dividerer du vel med 0?

Sist, men ikke minst, så tror jeg at det passer fint med et lite eksempel.
La oss si at du har lyst på et tall som er delelig med 3, 2 og 6. Det åpenbare svaret vil være 6 right?. Men hvis du følger metodikken og bare ganger alle tallene sammen får du 3*2*6=36. Dette blir det samme som[tex](3\cdot 2\cdot 6) = (3\cdot 2)^2[/tex] som blir like unødvendig som å ikke forkorte brøken [tex]\dfrac{4}{2}[/tex] på slutten av en oppgave. Vi ønsker aldri (ikke-primtalls)faktorer med større multiplistet enn 1. Finn et tall som er delelig på 2, 4 og 8. [tex]2\cdot 4\cdot 8 = 64, \quad 2\cdot 4\cdot 8 = 2\cdot (2\cdot 2)\cdot (2\cdot 2\cdot 2) = (2\cdot 2\cdot 2)^2 \rightarrow \text{fellesfaktor:} 2\cdot 2\cdot 2 = 8[/tex]

[sindre--]

Bumper denne tråden, i og med at jeg også sliter med en liknede oppgave.
Finn et tall som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer det med 3,2 i rest når vi dividerer det med 4,3 i rest når vi dividerer det med 5, og 4 i rest når vi dividerer det med 6. Hvordan i ALLE dager skal jeg begynne på dette?

skal jeg finne minste felles multiplum?
[tex]\frac{3}{x}*\frac{2}{x},........[/tex]
Setter pris på tilbakemelding!

Jeg har ikke noen god regneteknisk måte til deg så det får bli eliminasjonsmetoden.

Kort versjon med synsing.
[tex]5 \cdot 3 \cdot 2 = 30[/tex], tallet vårt må være i 30 gangen. 5 er delelig på runde tall og tall som slutter på 5. Tallet vårt må dermed være 5+3 eller 0+3. Nå har du to ting å sjekke.

- Er tallet i [tex]10 \cdot 3[/tex] gangen, [tex]10 \cdot 3 \cdot 2[/tex] gangen, [tex]10 \cdot 3 \cdot 5[/tex] gangen eller [tex]10 \cdot 3 \cdot 7[/tex] gangen. (primtallene fra 0-10)
- Slutter tallet på [tex]0+3 = 3[/tex]eller [tex]5+3 = 8[/tex].

Basically undersøker muligheten for tierne og enerne separat og setter de sammen etterpå.

Lengre versjon som, bedre forklart.
La oss ta en titt på utviklingen av følgene:
(Jeg har skrevet ut alle til de begynner å repetere seg selv og med skillevegg("bar") mellom tierne)

3 gangen pluss 1.
[tex]4, 7, | 10, 13, 16, 19, | 22, 25, 28, | 31, 34 ...[/tex] 3-gangen pluss 1 har endelser på [tex]4, 7, 0, 3, 6, 9, 2, 5, \underline{8}[/tex]og[tex]1[/tex]

4 gangen pluss 2
[tex]6, | 10, 14, 18, | 22, 26 ...[/tex] 4-gangen pluss 2 har endelser på [tex]6, 0, 4, \underline{8}, 2[/tex]og[tex]6[/tex]

5 gangen pluss 3
[tex]8, | 13, 18 ...[/tex] 5-gangen pluss 3 har endelser på [tex]\underline{8}[/tex]og[tex]13[/tex]

6 gangen pluss 4
[tex]10, 16, | 22, 28, | 34, | 40 ...[/tex] 6-gangen pluss 4 har endelser på [tex]0, 6, 2, \underline{8}[/tex]og[tex]4[/tex]

Aha! Vi sitter altså igjen med at tallet vårt må ha endelsen [tex]8[/tex] (den er felles for alle)
Nå må vi bare finne tallet på tier plassen og måten vi gjør det på er at vi ser på hvilke tiere 8-tallet kommer på.
I 3-gangen kommer 8 tallene ved hver 3. tier. I 4 og 6 gangen kommer de annenhver tier, og i 6 gangen kommer de hver tredje. Dette betyr at de eneste gyldige tallene våre vil komme ved hver 6. tier. (50-60), (110-120), (170-180) .. og tallene vi er ute etter blir følgelig 58, 118, 178 ...

Hei!
Jeg satt og slet med akkurat samme matte-oppgave som du løste her. Ser du har brukt en type eliminasjonsmetode, men det burde vel være mulig å lage en formel for å finne svarene på denne oppgaven, i og med at svarene ble 60-2, 2*60-2, 3*60-2, 4*60-2 osv.
Er det noen som kan forklare hvorfor det blir sånn?