bevisoppgave r1

[spektro]

hvordan løserm an denne her: finn et tall som er slik at det gir 1 i rest år vi dividerer det med både 2,3,5 og 7..

Slik jeg har tenkt:

minste felles multiplum: 2*3*5*7=210

divisor/divident=kvotient,
x/210=x + 1/210
men jeg får - 1/209 og det er feil.. noen videre tips?

[Aleks855]

Minste felles multiplum + 1 = 211

Dette vil jo gi 1 i rest når du deler det på 2, 3, 5, 7.

[spektro]

hvorfor blir minste felles multiplum 211? når 1 er i rest?, er ikke det snakk om at 211 ikke går opp i 2,3,5 7. siden du får 1 i rest?

hvordan kan man videre angripe dette?

[spektro]

Jeg tulla. 211 er svaret.
men kan du skrive det som en likning?

x/211=x+1/211 ellns?

er det mulig?

[Aleks855]

Nei, det jeg mener er at 210 er delelig på både 2, 3, 5, 7. Altså 0 i rest.

Hvis du da adderer 1, så vil du få 1 i rest. Altså vil 211/2 få 1 i rest. Samme med 3, 5, 7.

[Aleks855]

Som likning;

$210 \equiv 0 \pmod 2$

Adderer 1 på begge sider:

$211 \equiv 1 \pmod 2$

Det samme kan gjøres med 3, 5, 7.

[spektro]

Som likning;

$210 \equiv 0 \pmod 2$

Adderer 1 på begge sider:

$211 \equiv 1 \pmod 2$

Det samme kan gjøres med 3, 5, 7.

Hehe, med andre ord så er det ikke nødvendig med dette her? moduloregning er ikke pensum i R1 eller R2, men i x -matte. det holder med forklaring nummer 1.? Men dersom jeg lærte meg det, ville det gitt meg utelling på en eksamen ved bruk av den likningen?

[Drezky]

Bumper denne tråden, i og med at jeg også sliter med en liknede oppgave.
Finn et tall som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer det med 3,2 i rest når vi dividerer det med 4,3 i rest når vi dividerer det med 5, og 4 i rest når vi dividerer det med 6. Hvordan i ALLE dager skal jeg begynne på dette?

skal jeg finne minste felles multiplum?
[tex]\frac{3}{x}*\frac{2}{x},........[/tex]
Setter pris på tilbakemelding!

[Gjest]

Bumper denne tråden, i og med at jeg også sliter med en liknede oppgave.
Finn et tall som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer det med 3,2 i rest når vi dividerer det med 4,3 i rest når vi dividerer det med 5, og 4 i rest når vi dividerer det med 6. Hvordan i ALLE dager skal jeg begynne på dette?

skal jeg finne minste felles multiplum?
[tex]\frac{3}{x}*\frac{2}{x},........[/tex]
Setter pris på tilbakemelding!

Jeg har ikke noen god regneteknisk måte til deg så det får bli eliminasjonsmetoden.

Kort versjon med synsing.
[tex]5 \cdot 3 \cdot 2 = 30[/tex], tallet vårt må være i 30 gangen. 5 er delelig på runde tall og tall som slutter på 5. Tallet vårt må dermed være 5+3 eller 0+3. Nå har du to ting å sjekke.

- Er tallet i [tex]10 \cdot 3[/tex] gangen, [tex]10 \cdot 3 \cdot 2[/tex] gangen, [tex]10 \cdot 3 \cdot 5[/tex] gangen eller [tex]10 \cdot 3 \cdot 7[/tex] gangen. (primtallene fra 0-10)
- Slutter tallet på [tex]0+3 = 3[/tex]eller [tex]5+3 = 8[/tex].

Basically undersøker muligheten for tierne og enerne separat og setter de sammen etterpå.

Lengre versjon som, bedre forklart.
La oss ta en titt på utviklingen av følgene:
(Jeg har skrevet ut alle til de begynner å repetere seg selv og med skillevegg("bar") mellom tierne)

3 gangen pluss 1.
[tex]4, 7, | 10, 13, 16, 19, | 22, 25, 28, | 31, 34 ...[/tex] 3-gangen pluss 1 har endelser på [tex]4, 7, 0, 3, 6, 9, 2, 5, \underline{8}[/tex]og[tex]1[/tex]

4 gangen pluss 2
[tex]6, | 10, 14, 18, | 22, 26 ...[/tex] 4-gangen pluss 2 har endelser på [tex]6, 0, 4, \underline{8}, 2[/tex]og[tex]6[/tex]

5 gangen pluss 3
[tex]8, | 13, 18 ...[/tex] 5-gangen pluss 3 har endelser på [tex]\underline{8}[/tex]og[tex]13[/tex]

6 gangen pluss 4
[tex]10, 16, | 22, 28, | 34, | 40 ...[/tex] 6-gangen pluss 4 har endelser på [tex]0, 6, 2, \underline{8}[/tex]og[tex]4[/tex]

Aha! Vi sitter altså igjen med at tallet vårt må ha endelsen [tex]8[/tex] (den er felles for alle)
Nå må vi bare finne tallet på tier plassen og måten vi gjør det på er at vi ser på hvilke tiere 8-tallet kommer på.
I 3-gangen kommer 8 tallene ved hver 3. tier. I 4 og 6 gangen kommer de annenhver tier, og i 6 gangen kommer de hver tredje. Dette betyr at de eneste gyldige tallene våre vil komme ved hver 6. tier. (50-60), (110-120), (170-180) .. og tallene vi er ute etter blir følgelig 58, 118, 178 ...

[Drezky]

Bumper denne tråden, i og med at jeg også sliter med en liknede oppgave.
Finn et tall som er slik at det gir 1 i rest når vi dividerer det med 3,2 i rest når vi dividerer det med 4,3 i rest når vi dividerer det med 5, og 4 i rest når vi dividerer det med 6. Hvordan i ALLE dager skal jeg begynne på dette?

skal jeg finne minste felles multiplum?
[tex]\frac{3}{x}*\frac{2}{x},........[/tex]
Setter pris på tilbakemelding!

Jeg har ikke noen god regneteknisk måte til deg så det får bli eliminasjonsmetoden.

Kort versjon med synsing.
[tex]5 \cdot 3 \cdot 2 = 30[/tex], tallet vårt må være i 30 gangen. 5 er delelig på runde tall og tall som slutter på 5. Tallet vårt må dermed være 5+3 eller 0+3. Nå har du to ting å sjekke.

- Er tallet i [tex]10 \cdot 3[/tex] gangen, [tex]10 \cdot 3 \cdot 2[/tex] gangen, [tex]10 \cdot 3 \cdot 5[/tex] gangen eller [tex]10 \cdot 3 \cdot 7[/tex] gangen. (primtallene fra 0-10)
- Slutter tallet på [tex]0+3 = 3[/tex]eller [tex]5+3 = 8[/tex].

Basically undersøker muligheten for tierne og enerne separat og setter de sammen etterpå.

Lengre versjon som, bedre forklart.
La oss ta en titt på utviklingen av følgene:
(Jeg har skrevet ut alle til de begynner å repetere seg selv og med skillevegg("bar") mellom tierne)

3 gangen pluss 1.
[tex]4, 7, | 10, 13, 16, 19, | 22, 25, 28, | 31, 34 ...[/tex] 3-gangen pluss 1 har endelser på [tex]4, 7, 0, 3, 6, 9, 2, 5, \underline{8}[/tex]og[tex]1[/tex]

4 gangen pluss 2
[tex]6, | 10, 14, 18, | 22, 26 ...[/tex] 4-gangen pluss 2 har endelser på [tex]6, 0, 4, \underline{8}, 2[/tex]og[tex]6[/tex]

5 gangen pluss 3
[tex]8, | 13, 18 ...[/tex] 5-gangen pluss 3 har endelser på [tex]\underline{8}[/tex]og[tex]13[/tex]

6 gangen pluss 4
[tex]10, 16, | 22, 28, | 34, | 40 ...[/tex] 6-gangen pluss 4 har endelser på [tex]0, 6, 2, \underline{8}[/tex]og[tex]4[/tex]

Aha! Vi sitter altså igjen med at tallet vårt må ha endelsen [tex]8[/tex] (den er felles for alle)
Nå må vi bare finne tallet på tier plassen og måten vi gjør det på er at vi ser på hvilke tiere 8-tallet kommer på.
I 3-gangen kommer 8 tallene ved hver 3. tier. I 4 og 6 gangen kommer de annenhver tier, og i 6 gangen kommer de hver tredje. Dette betyr at de eneste gyldige tallene våre vil komme ved hver 6. tier. (50-60), (110-120), (170-180) .. og tallene vi er ute etter blir følgelig 58, 118, 178 ...

Takk gjest. Jeg skjønner dog ikke hvorfor du tar 5*3*2=30 i starten? hva med 6 og 4? Hvorfor akkurat de tallene?
Hvordan setter du prøve på svaret? f.eks. tallet 58. Skal man dele det 3 og 2 i rest av et annet tall og v.h.a dividere det med 4 og 3 i rest fra et annet tall og så videre dividere det med 5 og 4 i rest fra et annet tall? eller er det alle fra samme tall?
Jeg skjønner ikke helt oppgaven...

[Gjest]

Jeg tar 5, 3 og 2 fordi det er primtallene som bygger opp alle faktorene du ønsker å dele på. Jeg ser nå at du like så godt kunne tatt med et 2 tall til for å finne minste felles multiplum, men ... det gjorde jeg ikke... av en eller annen grunn.
Du trenger ikke ta med 6 fordi du vet at hvis tallet er delelig på 3 og 2 så må det også være delelig på 6 (6=3*2).

Når du skal sette prøve på svaret gjør du bare det oppgaven spør om. At noe er i rest betyr bare at det opprinnelige tallet var "i rest" større enn tallet du øsnker å dele, så du trekker fra resten og deler.
Dele på 3 med 1 i rest:
58-1 = 57, 57/3 = 19
Dele på 4 med 2 i rest:
58-2 = 56, 56/4 = 14
Dele på 5 med 3 i rest:
58-3 = 55, 55/5 = 11
Dele på 6 med 4 i rest:
58-4 = 54, 54/6 = 9

Når dette er sagt synes jeg ikke at min løsning er noe særlig bra. Jeg har funnet så mange ulike mønstre mens jeg gjorde dette her (f.eks at kvotientene øker med 2, 3, 4, 5) så jeg er overbevist over at det finnes en bedre regneteknisk måte enn min. Dette er bare for at du i alle fall skulle ha et svar.

[Drezky]

Jeg tar 5, 3 og 2 fordi det er primtallene som bygger opp alle faktorene du ønsker å dele på. Jeg ser nå at du like så godt kunne tatt med et 2 tall til for å finne minste felles multiplum, men ... det gjorde jeg ikke... av en eller annen grunn.
Du trenger ikke ta med 6 fordi du vet at hvis tallet er delelig på 3 og 2 så må det også være delelig på 6 (6=3*2).

Når du skal sette prøve på svaret gjør du bare det oppgaven spør om. At noe er i rest betyr bare at det opprinnelige tallet var "i rest" større enn tallet du øsnker å dele, så du trekker fra resten og deler.
Dele på 3 med 1 i rest:
58-1 = 57, 57/3 = 19
Dele på 4 med 2 i rest:
58-2 = 56, 56/4 = 14
Dele på 5 med 3 i rest:
58-3 = 55, 55/5 = 11
Dele på 6 med 4 i rest:
58-4 = 54, 54/6 = 9

Når dette er sagt synes jeg ikke at min løsning er noe særlig bra. Jeg har funnet så mange ulike mønstre mens jeg gjorde dette her (f.eks at kvotientene øker med 2, 3, 4, 5) så jeg er overbevist over at det finnes en bedre regneteknisk måte enn min. Dette er bare for at du i alle fall skulle ha et svar.

Thx. Hvordan øver man egentlig på slike oppgaver? Er det bare mengdetrening som gjelder her? Er det noen bestemte framgangsmåter som går igjen (foruten den såkalte "eliminasjonsmetoden")? Eller må man bare tenke litt kreativt?

[Gjest]

Jeg har aldri sett akkurat denne typen oppgave før så jeg vet ikke helt, men det første jeg tenker når jeg ser en slik en er følger og rekker. Det handler stort sett om å gjenkjenne mønstre, generalisere en utvikling og dermed finne en tilpasset funksjon eller metode basert på oppdagelsene dine.

Mengdetrening er lurt uansett hva du arbeider med og spesielt i matte. Jo oftere du har brukt trigonometriske identiteter, enhetssirkelen, gjort om fra radianer til grader eller funnet arealet av trekanter, desto lettere er det å gjenkjenne situasjoner og anvende metodene man har lært. Dette er til tross for at alle disse tingene er såkalte "pugge" ting, og dette gjelder også for mønsterutvikling i rekker og følger. Mengdetrening er aldri dumt.

Så er det jo greit å ha med seg den bagasjen/kunnskapen man trenger for å løse oppgavene, og det er dette jeg antar du er ute etter? F.eks vil det ikke være mye verdi i å spille fotball 8 timer hver dag hvis man spiller med hendene. I slike oppgaver som denne derimot er det nok riktig som du sier at det kreves for det meste kreativitet. Så vidt jeg vet er det ingen "go to" teknikker du kan anvende. Det er ingen "finn ekstremalpunkt ved derivasjon, løs integralet ved substitusjon" regler. Metoden må du utarbeide selv, men det er jo det som gjør oppgavene litt morsomme også.

Skulle du likevel sitte helt fast når du møter slike oppgaver ville jeg gjort det samme som jeg gjør når jeg løser vanskelige integral. Du prøver først en metode også en annen (rekker: prøv aritmetisk/geometrisk, figurer: trekanter/sirkler/vinkler/areal/omkrets, integral: delvis, produktregel, substitusjon) så prøver du deg fram helt til det funker eller at du skjønner at du ikke kommer noe videre, dette opparbeider du en feel for etter masse trening. Forskjellen mellom skoleoppgaver og slike som vi har her er rett og slett at denne gangen har du ikke den samme smørbrødlista over mulige kandidater som skolen har gitt deg. Smørbrødlista den lager du selv etter å ha løst noen oppgaver. Ikke bare må du gjenkjenne mønstre i selve oppgaven, men også mellom hver oppgave. Kanskje er det slik at når du skal integrere noe typisk [tex]\int{\dfrac{x}{y}} dy[/tex] så vil det nesten alltid funke med logaritmer? Det er dette all matematikk handler om, og som i alt annet finnes det ingen snarveier enn de du lager selv (ta den med en klype salt).

Kort sagt:
Det er som du sier kreativiteten du må utvikle, jeg vet ikke om noen spesielle teknikker og mengdetrening er alltid flott.
Når det er sagt er jeg jo ikke noe ekspert verken på arbeidsetikk eller matte, men det er nå slik jeg tenker på det
Sry hvis det ble litt langt, men man merker jo på seg at man har litt for mye tid når sommerferien kommer.

[Gustav]

La x være tallet du er ute etter. Da må x=3n+1=4m+2=5k+3=6l+4, der n,m,k,l er heltall.

Altså må $x\equiv -2$ modulo både 3,4, 5 og 6. Det følger at $x=lcm(3,4,5,6)y-2$, så $x=60y-2$ for heltall y.

[Drezky]

Jeg har aldri sett akkurat denne typen oppgave før så jeg vet ikke helt, men det første jeg tenker når jeg ser en slik en er følger og rekker. Det handler stort sett om å gjenkjenne mønstre, generalisere en utvikling og dermed finne en tilpasset funksjon eller metode basert på oppdagelsene dine.

Mengdetrening er lurt uansett hva du arbeider med og spesielt i matte. Jo oftere du har brukt trigonometriske identiteter, enhetssirkelen, gjort om fra radianer til grader eller funnet arealet av trekanter, desto lettere er det å gjenkjenne situasjoner og anvende metodene man har lært. Dette er til tross for at alle disse tingene er såkalte "pugge" ting, og dette gjelder også for mønsterutvikling i rekker og følger. Mengdetrening er aldri dumt.

Så er det jo greit å ha med seg den bagasjen/kunnskapen man trenger for å løse oppgavene, og det er dette jeg antar du er ute etter? F.eks vil det ikke være mye verdi i å spille fotball 8 timer hver dag hvis man spiller med hendene. I slike oppgaver som denne derimot er det nok riktig som du sier at det kreves for det meste kreativitet. Så vidt jeg vet er det ingen "go to" teknikker du kan anvende. Det er ingen "finn ekstremalpunkt ved derivasjon, løs integralet ved substitusjon" regler. Metoden må du utarbeide selv, men det er jo det som gjør oppgavene litt morsomme også.

Skulle du likevel sitte helt fast når du møter slike oppgaver ville jeg gjort det samme som jeg gjør når jeg løser vanskelige integral. Du prøver først en metode også en annen (rekker: prøv aritmetisk/geometrisk, figurer: trekanter/sirkler/vinkler/areal/omkrets, integral: delvis, produktregel, substitusjon) så prøver du deg fram helt til det funker eller at du skjønner at du ikke kommer noe videre, dette opparbeider du en feel for etter masse trening. Forskjellen mellom skoleoppgaver og slike som vi har her er rett og slett at denne gangen har du ikke den samme smørbrødlista over mulige kandidater som skolen har gitt deg. Smørbrødlista den lager du selv etter å ha løst noen oppgaver. Ikke bare må du gjenkjenne mønstre i selve oppgaven, men også mellom hver oppgave. Kanskje er det slik at når du skal integrere noe typisk ∫xydy så vil det nesten alltid funke med logaritmer? Det er dette all matematikk handler om, og som i alt annet finnes det ingen snarveier enn de du lager selv (ta den med en klype salt).

Kort sagt:
Det er som du sier kreativiteten du må utvikle, jeg vet ikke om noen spesielle teknikker og mengdetrening er alltid flott.
Når det er sagt er jeg jo ikke noe ekspert verken på arbeidsetikk eller matte, men det er nå slik jeg tenker på det
Sry hvis det ble litt langt, men man merker jo på seg at man har litt for mye tid når sommerferien kommer.

Hehe, må si at det var litt inspirerende. Igjen. takk.

La x være tallet du er ute etter. Da må x=3n+1=4m+2=5k+3=6l+4, der n,m,k,l er heltall.

Altså må $x\equiv -2$ modulo både 3,4, 5 og 6. Det følger at $x=lcm(3,4,5,6)y-2$, så $x=60y-2$ for heltall y.

Det her så ut som en fin løsning. Kunne du forklare stegene litt nærmere ?