Differensiallikninger av første orden, R2

[Kinoy2201]

Hei!
Jeg skjønner ikke hvordan jeg skal løse b) oppgaven.
a) Løs differensiallikningen y'=4y

b) I en bakteriekultur er vekstfarten proporsjonal med det bakterietallet som til enhver tid er i kulturen. I begynnelsen var det 10 000 bakterier i kulturen. Ved målinger finner en at bakterietallet etter tre timer er 16 000. Hvor mange bakterier er det i bakteriekulturen ti timer etter start?

[zell]

a)

[tex]y^\prime = 4y[/tex]

[tex]\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 4y \ \Rightarrow \ \frac{\mathrm{d}y}{y} = 4\mathrm{d}x[/tex]

[tex]\int\frac{\mathrm{d}y}{y} = \int 4\mathrm{d}x[/tex]

[Danielmg]

Noen som får til b?

[ettam]

En liten omskriving av b) kan kanskje hjelpe deg på vei?


La [tex]B(t)[/tex] være antall bakterier etter [tex]t[/tex] timer, da beskriver diffligningen:

[tex]B'(t) = a \cdot B(t)[/tex]

en proporsjonal vekst med antallet bakterier til en hver tid.

Løs difflikningen og bruk randbetingelsene [tex]B(0) = 10000[/tex] og [tex]B(3) = 16000[/tex]
til å finne [tex]B(t)[/tex]

[Danielmg]

En liten omskriving av b) kan kanskje hjelpe deg på vei?


La [tex]B(t)[/tex] være antall bakterier etter [tex]t[/tex] timer, da beskriver diffligningen:

[tex]B'(t) = a \cdot B(t)[/tex]

en proporsjonal vekst med antallet bakterier til en hver tid.

Løs difflikningen og bruk randbetingelsene [tex]B(0) = 10000[/tex] og [tex]B(3) = 16000[/tex]
til å finne [tex]B(t)[/tex]

Blir det riktig å sette B'(t)=(16000-10000)/3=2000, slik at k=2000/10000=0,2?
Fasitsvaret er 47900 bakterier, noe jeg bare får til å stemme hvis k=ln1,17=0,157, men hvordan kommer man seg dit?

[ettam]

Nei det blir feil, dessverre.


Litt mer hjelp/hint:


En homogen førsteordens difflikning:

[tex]y ' (x) = a \cdot y(x)[/tex]

har den generelle løsningen:

[tex]y(x) = Ce^{ax}[/tex]


Ser du sammenhengen med min "nye" oppgavetekst?