Geometrisk rekke med variabel kvotient

[pit]

Det som gjør opphøyingen av -1 feil, er at du behandler alle ulikhetene i -a < x < b likt, men det kan en ikke.

En må behandler hver og en ulikhet uavhengig.

[Nebuchadnezzar]

$|\frac1x| = \frac{1}{|x|}<1 \Rightarrow |x| > 1$. Bare ganger med |x| på begge sider. Skifter ikke ulikhetstegn fordi |x| er positivt uansett.

Men hva er det som gjør at det å opphøye i -1 gir feil svar?

Virker som ingen helt klarer å svare på det du spør om. Nemlig hvorfor det blir feil å opphøye i -1. Når vi arbeider med ulikheter må vi være forsiktig med både å gange med noe negativt, og å opphøye i noe negativt. Grunnen er at en kan tenke seg en ulikhet som en vektskål. Ved å gange eller opphøye i noe negativt, så snus vektskålen. To eksempler under

$ \hspace{1cm}
\phantom{-} 1 < 10
$

Åpenbart. Men ved å gange med -1 på begge sider ender vi nå opp med

$ \hspace{1cm}
-1 < -10
$

Dette blir selvsagt feil siden $-10$ IKKE er større enn $-1$. For å få det korrekt må vi altså snu ulikhetstegnet $-1 > -10$. Tilsvarende om vi har

$ \hspace{1cm}
\phantom{-} 1 < 10
$

Opphøyer vi nå begge sider i $-1$ fås

$ \hspace{1cm}
\phantom{-} 1 < \frac{1}{10}
$

Som igjen blir galt.

[ThomasSkas]

$|\frac1x| = \frac{1}{|x|}<1 \Rightarrow |x| > 1$. Bare ganger med |x| på begge sider. Skifter ikke ulikhetstegn fordi |x| er positivt uansett.

Men hva er det som gjør at det å opphøye i -1 gir feil svar?

Virker som ingen helt klarer å svare på det du spør om. Nemlig hvorfor det blir feil å opphøye i -1. Når vi arbeider med ulikheter må vi være forsiktig med både å gange med noe negativt, og å opphøye i noe negativt. Grunnen er at en kan tenke seg en ulikhet som en vektskål. Ved å gange eller opphøye i noe negativt, så snus vektskålen. To eksempler under

$ \hspace{1cm}
\phantom{-} 1 < 10
$

Åpenbart. Men ved å gange med -1 på begge sider ender vi nå opp med

$ \hspace{1cm}
-1 < -10
$

Dette blir selvsagt feil siden $-10$ IKKE er større enn $-1$. For å få det korrekt må vi altså snu ulikhetstegnet $-1 > -10$. Tilsvarende om vi har

$ \hspace{1cm}
\phantom{-} 1 < 10
$

Opphøyer vi nå begge sider i $-1$ fås

$ \hspace{1cm}
\phantom{-} 1 < \frac{1}{10}
$

Som igjen blir galt.

Slik jeg forstår det, så skal svaret bli riktig dersom man opphøyer i -1 her, også skifter han retning på ulikhetstegnene?