Eksamensoppgave R1

[hco96]

Løs likningen med hensyn på [tex]x[/tex]
[tex]n^n \left( \frac{x}{n}\right)^{lgx} = x^n, x > 0, n > 0[/tex]
Er det noen som kan gi meg noen tips på hvordan jeg kan begynne? Står litt fast i henhold til hvilken strategi jeg burde bruke.
Jeg har så langt ikke prøvd på noe spesielt da jeg er veldig usikker. Takk for svar.

[Aleks855]

$\left(\frac xn\right)^{\lg x} = \frac{x^n}{n^n} = \left(\frac xn \right)^n$, derfra ser det noe lettere ut.

Når du står fast, bare prøv noe. Hva som helst.

[hco96]

Takk, jeg kom frem til noe nå.

[tex]\left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = \left ( \frac{x}{n} \right )^n[/tex]

[tex]lg \left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = lg \left ( \frac{x}{n} \right )^n[/tex]

[tex]lgx\cdot lg \left ( \frac{x}{n} \right ) = n \cdot lg \left ( \frac{x}{n} \right )[/tex]

[tex]lgx(lgx - lgn) = n(lgx - lgn)[/tex]

[tex]lgx = n[/tex]
[tex]x = 10^n[/tex]

Her har det vel ikke noe å si om jeg bruker [tex]ln[/tex]?

[Drezky]

Takk, jeg kom frem til noe nå.

[tex]\left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = \left ( \frac{x}{n} \right )^n[/tex]

[tex]lg \left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = lg \left ( \frac{x}{n} \right )^n[/tex]

[tex]lgx\cdot lg \left ( \frac{x}{n} \right ) = n \cdot lg \left ( \frac{x}{n} \right )[/tex]

[tex]lgx(lgx - lgn) = n(lgx - lgn)[/tex]

[tex]lgx = n[/tex]
[tex]x = 10^n[/tex]

Her har det vel ikke noe å si om jeg bruker [tex]ln[/tex]?

Ja, men du har bare én løsning nå. Vink vink...

[hco96]

Ja, men du har bare én løsning nå. Vink vink...

Hvor mange er det?

[Drezky]

Ja, men du har bare én løsning nå. Vink vink...

Hvor mange er det?

2 stk

[Aleks855]

Takk, jeg kom frem til noe nå.

[tex]\left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = \left ( \frac{x}{n} \right )^n[/tex]

[tex]lg \left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = lg \left ( \frac{x}{n} \right )^n[/tex]

[tex]lgx\cdot lg \left ( \frac{x}{n} \right ) = n \cdot lg \left ( \frac{x}{n} \right )[/tex]

[tex]lgx(lgx - lgn) = n(lgx - lgn)[/tex]

[tex]lgx = n[/tex]
[tex]x = 10^n[/tex]

Her har det vel ikke noe å si om jeg bruker [tex]ln[/tex]?

I tillegg til det Drezky nevner, så har du funnet at $\lg x = n$. Men hvis du ser på $\left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = \left ( \frac{x}{n} \right )^n$, er ikke dette noe du kunne sett allerede der?

[hco96]

I tillegg til det Drezky nevner, så har du funnet at $\lg x = n$. Men hvis du ser på $\left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = \left ( \frac{x}{n} \right )^n$, er ikke dette noe du kunne sett allerede der?

Hehe, jo egentlig, jeg husker å ha hørt deg si det i en video også, men jeg forstod ikke helt overgangen. Kommer det av at [tex]lne^a = a[/tex]? Så hvis jeg brukte logaritmen med grunntall [tex]\frac{x}{n}[/tex] på begge sider hadde jeg kommet dit direkte? Eller ville jeg da fått [tex]1^{lgx}=1^n[/tex], er det kanskje denne løsningen Drezky sikter til?

[Drezky]

I tillegg til det Drezky nevner, så har du funnet at $\lg x = n$. Men hvis du ser på $\left ( \frac{x}{n} \right )^{lgx} = \left ( \frac{x}{n} \right )^n$, er ikke dette noe du kunne sett allerede der?

Hehe, jo egentlig, jeg husker å ha hørt deg si det i en video også, men jeg forstod ikke helt overgangen. Kommer det av at [tex]lne^a = a[/tex]? Så hvis jeg brukte logaritmen med grunntall [tex]\frac{x}{n}[/tex] på begge sider hadde jeg kommet dit direkte? Eller ville jeg da fått [tex]1^{lgx}=1^n[/tex], er det kanskje denne løsningen Drezky sikter til?

Kommer fra at [tex]1^{97}=1^{43242342423423432}[/tex]

Eller hvis du vil kan du bektrakte likningen din og bruke produktregelen !

[hco96]

så klart, blir løsningen som dette da?
[tex]x=10^n \vee lgx =1 \Leftrightarrow x = 10[/tex]

[Drezky]

[tex]n^n \left( \frac{x}{n}\right)^{lgx} = x^n[/tex]

[tex]\left( \frac{x}{n}\right)^{lgx} = \left ( \frac{x}{n} \right )^{n}[/tex]

[tex]lg\left( \frac{x}{n}\right)^{lgx} =lg \left ( \frac{x}{n} \right )^{n}[/tex]

[tex]lgx*lg\left( \frac{x}{n}\right) =n*lg \left ( \frac{x}{n} \right )[/tex]

[tex]lgx*\left ( lgx-lgn \right ) =n*\left ( lgx-lgn \right )[/tex]

Kaller [tex]a=(lgx-lgn)[/tex]

[tex]lgx*a=n*a\Longleftrightarrow lgxa-na=a(lgx-n)[/tex]

Innfører [tex]a=(lgx-lgn)[/tex]
[tex]a(lgx-n)=(lgx-lgn)(lgx-n)[/tex]

Dette skal bli lik 0

[tex](lgx-lgn)(lgx-n)=0 \longleftrightarrow (lgx-lgn)=0 \, \vee (lgx-n)=0[/tex]

[tex]lgx-n=0\Leftrightarrow x=10^{n}[/tex]

Eller [tex]lgx-lgn=0\Leftrightarrow 10^{lgx}=10^{lgn}\Leftrightarrow x=n[/tex]

[hco96]

åjaa, tusen takk