Parallelle vektorer uten koordinater

[majat]

Hei, i Sinus R1 oppgave 6.132 står følgende:

I trekant ABC setter vi AB=u og AC= v. Punktene D og E er bestemt ved at AD=1/3*u og BE= -½*u-½*v
Undersøk om punktene C, D og E ligger på samme linje.

Kan noen hjelpe meg, jeg vet ikke hva jeg skal gjøre.
Tusen takk!

[DennisChristensen]

Hei, i Sinus R1 oppgave 6.132 står følgende:

I trekant ABC setter vi AB=u og AC= v. Punktene D og E er bestemt ved at AD=1/3*u og BE= -½*u-½*v
Undersøk om punktene C, D og E ligger på samme linje.

Kan noen hjelpe meg, jeg vet ikke hva jeg skal gjøre.
Tusen takk!

$C, D$ og $E$ ligger på samme linje $\iff$ $\vec{CD}$ og $\vec{CE}$ er parallelle $\iff$ Det finnes $k \neq 0$ slik at $\vec{CD} = k\space \vec{CE}$.

Vi har at $\displaystyle\vec{CD} = \vec{CA} + \vec{AD} = -\vec{v} + \frac{1}{3}\vec{u} = \frac{1}{3}\vec{u} - \vec{v}\space$ og at
$\displaystyle \vec{CE} = \vec{CB} + \vec{BE} = \vec{CA} + \vec{AB} + \vec{BE} = -\vec{v} + \vec{u} + \left(-\frac{1}{2}\vec{u} - \frac{1}{2}\vec{v}\right) = \frac{1}{2}\vec{u} - \frac{3}{2}\vec{v}$, så

$\displaystyle\vec{CD} = \frac{1}{3}\vec{u} - \vec{v} = \frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}\vec{u} - \frac{3}{2}\vec{v}\right) = \frac{2}{3}\space\vec{CE}.$

Altså er $\vec{CD}$ og $\vec{CE}$ parallelle, så $C, D$ og $E$ ligger på samme linje.