Eksakte verdier for trig. funksjoner til en vinkel

[hco96]

Hei, Oppgaven er:
Finn eksakte verdier for [tex]sin(67,5)[/tex] og [tex]cos(67,5)[/tex]
Men jeg skjønner verken hvilke formler jeg skal bruke, eller hvilken fremgangsmetode.

En annen oppgave var også:
For en vinkel [tex]v \in [270, 360>[/tex] er [tex]cos v = \frac{1}{4}[/tex],
finn eksakte verdier for [tex]cosv, sin2v, cos2v, tan2v[/tex]
Kan noen hjelpe meg?
Takk for svar!

[Drezky]

Kan være nyttig å bruke sum- og differanseformlene:


[tex]\sin(u+v)=\sin u*\cos v + \sin v *\cos u[/tex]

[tex]\sin (u-v)=\sin u *\cos v - \sin v *\cos u[/tex]

[tex]\cos (u+v)=\cos u *\cos v -\sin u *\sin v[/tex]

[tex]\cos (u-v)=\cos u *\cos v +\sin u *\sin v[/tex]

Supplement- komplement vinkler

[tex]\sin v =\cos(90-v)[/tex]

[tex]\cos v =\sin(90-v)[/tex]

Kan f.eks. utlede [tex]\sin 2v[/tex] ved å skrive at [tex]\sin 2v=\sin (v+v)[/tex] og anvende en av formlene .

[hco96]

takk, hva er det egentlig oppgaven spør om? Hvordan burde jeg begynne?
Edit: Jeg vet om disse formlene, men jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal bruke de, og på hva? Hvordan kommer de inn i bildet når det er eksakt verdien til sin 67,5?

[Drezky]

takk, hva er det egentlig oppgaven spør om? Hvordan burde jeg begynne?
Edit: Jeg vet om disse formlene, men jeg forstår ikke helt hvordan jeg skal bruke de, og på hva? Hvordan kommer de inn i bildet når det er eksakt verdien til sin 67,5?

Her: orker ikke latex. nåå
Se på "half angle and double angle formulas", som kan for øvrig lett utledes
Husk at 67.5 er halvparten av 135

http://www.regentsprep.org/regents/math ... lesson.htm

Her er et bevis:
http://www.themathpage.com/atrig/double-proof.htm

[Drezky]

En annen oppgave var også:
For en vinkel [tex]v \in [270, 360>[/tex] er [tex]cos v = \frac{1}{4}[/tex],
finn eksakte verdier for [tex]cosv, sin2v, cos2v, tan2v[/tex]
Kan noen hjelpe meg?
Takk for svar!

[tex]\sin 2 v =2 \sin v \cos v =2*\left ( \frac{\sqrt{15}}{4} \right )*\left ( \frac{1}{4} \right )=\frac{\sqrt{15}}{8}[/tex]

Orket visst likevel ...

Her kan du bruke [tex]\sin^2v+\cos ^2 v=1[/tex]

F.eks. så vet du fra oppgaveteksten at [tex]\cos =\frac{1}{4}[/tex]. Ved å anvende enhetsformelen får vi at:

[tex]\sin v=\pm \sqrt{1-\cos^2}=\pm \sqrt{1-\left ( \frac{1}{4} \right )^2}=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}[/tex]

Siden denne vinkelen er i 1 kvadrant er [tex]\sin u >0[/tex]

Vi får at [tex]\sin v =\frac{\sqrt{15}}{4}[/tex]

Ved å bruke at [tex]\sin 2 v =2\sin v \cos v[/tex] (Skjekk sum-differanse formlene)

får vi at

[tex]\sin 2 v =2 \sin v \cos v =2*\left ( \frac{\sqrt{15}}{4} \right )*\left ( \frac{1}{4} \right )=\frac{\sqrt{15}}{8}[/tex]

Resten burde vel være greit ?

[hco96]

Se der ja! det ga utrolig mye mer mening med half angle
[tex]Sin(\frac{1}{2} 135) = \pm \sqrt{\frac{1-cos135}{2}} = \pm \sqrt{\frac{1-cos(90+45)}{2}}[/tex]

[hco96]

Resten burde vel være greit ?

Ja, takk for tiden din