matematikk.net

Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

Integralet av 2x * ln x dx? Vet jeg kan bruke regelen u' * v = u*v - integralet av u * v', der u' = 2x og v = ln x

lisa1111 skrev:Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

Integralet av 2x * ln x dx? Vet jeg kan bruke regelen u' * v = u*v - integralet av u * v', der u' = 2x og v = ln x

[tex]\int 2x*\ln x\, dx[/tex]

[tex]v=2x\Rightarrow v'=2[/tex]

[tex]u'=\ln x \Rightarrow u= x \ln(x)-x[/tex]

bruk at [tex]\int u'*v\,\,dx=u*v-\int u*v' \, \, dx[/tex]

[tex]\int 2xln(x)dx\Leftrightarrow 2\int xln(x)dx[/tex]


[tex]u=ln(x)[/tex]

[tex]u'=\frac{1}{x}[/tex]

[tex]v=\frac{x^2}{2}[/tex]

[tex]v'=x[/tex]

[tex]\int uv'=uv-\int u'v[/tex]

[tex]2\left(ln(x)\cdot\frac{x^2}{2}-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2}{2}dx \right )=2\left(\frac{x^2ln(x)}{2}-\int\frac{x}{2}dx\right )=2\left(\frac{x^2ln(x)}{2}-\frac{1}{2}\int xdx \right )=2\left(\frac{x^2ln(x)}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} \right )=2\left(\frac{x^2ln(x)}{2}-\frac{x^2}{4} \right )+C[/tex]

Som er det samme som

[tex]\frac{1}{2}x^2(2ln(x)-1)+C[/tex]

Sitter bomfast. Forvirrer meg når det blir integralet av x*ln(x)-x...




quote="Drezky"]

lisa1111 skrev:Kan noen hjelpe meg med denne oppgaven?

Integralet av 2x * ln x dx? Vet jeg kan bruke regelen u' * v = u*v - integralet av u * v', der u' = 2x og v = ln x

[tex]\int 2x*\ln x\, dx[/tex]

[tex]v=2x\Rightarrow v'=2[/tex]

[tex]u'=\ln x \Rightarrow u= x \ln(x)-x[/tex]

bruk at [tex]\int u'*v\,\,dx=u*v-\int u*v' \, \, dx[/tex][/quote]

FASIT: x^2 * lnx -(1/2x^2) + C

Kay skrev:[tex]\int 2xln(x)dx\Leftrightarrow 2\int xln(x)dx[/tex]


[tex]u=ln(x)[/tex]

[tex]u'=\frac{1}{x}[/tex]

[tex]v=\frac{x^2}{2}[/tex]

[tex]v'=x[/tex]

[tex]\int uv'=uv-\int u'v[/tex]

[tex]2\left(ln(x)\cdot\frac{x^2}{2}-\int\frac{1}{x}\cdot\frac{x^2}{2}dx \right )=2\left(\frac{x^2ln(x)}{2}-\int\frac{x}{2}dx\right )=2\left(\frac{x^2ln(x)}{2}-\frac{1}{2}\int xdx \right )=2\left(\frac{x^2ln(x)}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} \right )=2\left(\frac{x^2ln(x)}{2}-\frac{x^2}{4} \right )+C[/tex]

Som er det samme som

[tex]\frac{1}{2}x^2(2ln(x)-1)+C[/tex]

lisa1111 skrev:FASIT: x^2 * lnx -(1/2x^2) + C

Uttrykkene er de samme.

[tex]x^2ln(x)-(\frac{1}{2}x^2)+C =\frac{1}{2}x^2(2ln(x)-1)+C[/tex]

For å bevise det kan vi faktorisere uttrykket.

[tex]x^2ln(x)-\frac{x^2}{2}=\frac{2x^2ln(x)-x^2}{2}=\frac{x^2}{2}(2ln(x)-1)[/tex]