matematikk.net

Skal løse problemet [tex]\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}[/tex]. Her ser jeg ikke noe andre måter å gjøre det på enn å bruke substitusjon

[tex]u=x^2+4\Rightarrow u'=2x[/tex]
[tex]\frac{du}{dx}=2x\Longleftrightarrow dx=\frac{du}{2x}[/tex]

[tex]\int \frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+4}}=\int \frac{1}{x^2\sqrt{u}}\, \, \frac{du}{2x}[/tex]

Ser ikke noen utvei her....


Denne skulle da være fælt vanskelig? Har ikke lært noe særlig mer enn kjerne-,delvis og subsitusjonsregelen...

fikk denne for øvrig av noen....

Jeg ser egentlig ingen annen mulighet enn trigonometrisk substitusjon (Weierstrass) med
[tex]x =2\tan(u)[/tex]
som sjølsagt ikke er vgs-pensum...

Denne smørja er iallefall ikke VGS pensum

Som Janhaa sa, sub med [tex]x=2tan(u)[/tex] og [tex]dx=2sec^2(u)[/tex]

og få ut noe som ikke ser særlig pent ut [tex]\int\frac{sec^2(u)}{2tan^2(u)\sqrt{4tan^2(u)+4}}[/tex]

Trekker ut konstanten [tex]\frac{1}{2}\int\frac{sec^2(u)}{tan^2(u)\sqrt{4tan^2(u)+4}}[/tex]

[tex]\sqrt{4tan^2(u)+4}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{tan^2(u)+1}[/tex]

Setter alt det inn [tex]\frac{1}{2}\int\frac{sec^2(u)}{tan^2(u)\sqrt{4}\sqrt{tan^2(u)+1}}du[/tex]

Bruker at [tex]1+tan^2(x)=sec^2(x)[/tex] og får da videre ut at


[tex]\frac{1}{2}\int\frac{sec^2(u)}{tan^2(u)\sqrt{4}\sqrt{sec^2(u)}}du=\frac{1}{2}\int\frac{sec(u)}{2tan^2(u)}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int\frac{sec(u)}{tan^2(u)}du=\int\frac{1}{sin(u)}cot(u)du[/tex]

Subtitusjon [tex]v=sin(u)[/tex] dv=[tex]cos(u)du[/tex]

Og dette skal da gi

[tex]\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int\frac{\frac{1}{v}}{v}dv=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int\frac{1}{v^2}dv=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\int v^{-2}dv=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot \frac{v^{-2+1}}{-2+1}[/tex]

Så substituerer du tilbake [tex]v=sin(u)[/tex] og [tex]u=arctan(\frac{1}{2}x)[/tex]

Videre [tex]\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\frac{(sin(arctan(\frac{1}{2}x)))^{-2+1}}{-2+1}=-\frac{\sqrt\frac{x^2}{4}+1}{2x}+C=-\frac{\sqrt{x^2+4}}{4x}+C[/tex]


Denne "noen", du nevner, må værre passe sadist

En annen mulighet er å først bruke [tex]u=\frac1x[/tex] så du får [tex]-\int\frac{u}{\sqrt{1+4u^2}}du[/tex]. Derfra gir [tex]z=1+4u^2[/tex] deg et greit integral.

Samla sett gjør du da substitusjonen [tex]z=1+\frac4{x^2}[/tex], men det er vanskeligere å se at dette kan føre fram uten mellomsteget.