integrasjon delbrøkoppspaltning

[Gjest]

Skal finne

[tex]\int \frac{x^3}{x^2-1}dx[/tex]

bruker delbrøkoppspaltnikng

[tex]\frac{x^3}{x^2-1}=\frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x+1)}\Leftrightarrow x^3=A(x+1)+B(x-1)[/tex]

som gir [tex]A=\frac{1}{2}[/tex] og [tex]B=\frac{1}{2}[/tex]

MEN [tex]\frac{x^3}{x^2-1}\neq \frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{\frac{1}{2}}{x+1}[/tex]

hvorfor funker ikke delbrøkoppslatning her, må ha noe med [tex]x^3[/tex] leddet, er det en regel at telleren må vær av første grad?

[Drezky]

Tror det er en regel som sier at man ikke kan bruke delbrøkoppspaltning direkte hvis graden av teller er større enn graden av nevner: [tex]x^t>x^n[/tex]

Men polynomdivisjon gir:

[tex]\left ( x^3 \right ) \mid \, \left ( x^2-1 \right ) = x+\frac{x}{\left ( x^2-1 \right )}[/tex]

Slik at

[tex]\int \frac{x^3}{x^2-1}dx=\int \left ( x+\frac{x}{\left ( x^2-1 \right )} \right )dx=\int x dx+\int \frac{x}{x^2-1}dx[/tex]

[tex]\int x dx =\frac{1}{2}x^2+C[/tex]

[tex]\int \frac{x}{x^2-1} dx \overset{u=x^2-1}{\rightarrow}\int \frac{x}{u}\frac{du}{2x}=\frac{1}{2}\int \frac{1}{u}du=\frac{1}{2}\ln \left | u \right |+C=\frac{1}{2} \ln \left | x^2-1 \right |+C[/tex]

[tex]\frac{1}{2}x^2+\sqrt{ \ln \left |x^2-1 \right |}+C[/tex]