Hei, jeg jobber på ei matteoppgave, og skriver dette som del av bevisføringa: (2a)^b - 1 = (2^a - 1)((2a)^b-1 + (2a)^b-2 + ... + 2a + 1)
Jeg kan taste inn verdier og se at det fungerer, men er det noen bevis for at denne alltid skal fungere? Jeg ser ikke helt sammenhengen mellom venstre og høyre side her. Jeg tenkte litt på summen av en geometrisk rekke (om det er det man sier på norsk), men er ikke helt sikker på om det kan anvendes her.
(2a)^b - 1 = (2^a - 1)((2a)^b-1 + (2a)^b-2 + ... + 2a + 1)
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
DennisChristensen
- Grothendieck
- Innlegg: 826
- Registrert: 09/02-2015 23:28
- Sted: Oslo
Regner med at du mener $2a$ der du på høyre side har skrevet $2^a$, slik at vi fårjasså skrev:Hei, jeg jobber på ei matteoppgave, og skriver dette som del av bevisføringa: (2a)^b - 1 = (2^a - 1)((2a)^b-1 + (2a)^b-2 + ... + 2a + 1)
Jeg kan taste inn verdier og se at det fungerer, men er det noen bevis for at denne alltid skal fungere? Jeg ser ikke helt sammenhengen mellom venstre og høyre side her. Jeg tenkte litt på summen av en geometrisk rekke (om det er det man sier på norsk), men er ikke helt sikker på om det kan anvendes her.
$$ (2a)^b - 1 = (2a - 1)((2a)^{b-1} + (2a)^{b-2} + ... + 2a + 1).$$
Hvis $a= \frac{1}{2}$ så ser vi at høyre side $=0=$ venstre side.
Hvis $a\neq \frac{1}{2}$ så har vi at $2a-1 \neq 0$, så vi kan dividere og får at
$$ 1 + 2a + ... + (2a)^{b-2} + (2a)^{b-1} = \sum_{i=0}^{b-1}(2a)^i = \frac{(2a)^b - 1}{2a - 1}.$$
Dette er, som du var inne på, formelen for en geometrisk rekke og kan bevises enkelt enten direkte eller ved induksjon