matematikk.net

Sliter litt med denne oppgaven:

En funksjon er gitt ved
[tex]f(x)=e^x[/tex]

Et flatestykke F er avgrenset av y-aksen, grafen til f og linja y=k, der k er et tall som er større enn 1.

a) Finn arealet av flatestykket F når k=2.

b) Bestem tallet k slik at flatestykket F får arealet 1.

c) Vi dreier flatestykket F 360[tex]^{\circ}[/tex] om x-aksen. Finn volumet av omdreiningsgjenstanden når [tex]k=e^2[/tex].

Takk på forhånd

a) Betrakter [tex]y=k[/tex] som en annen funksjon og finner arealet avgrenset av f og linja y.
Dvs. [tex]k=2 \Rightarrow \int_0^{x_1}{(2- f(x))dx}[/tex], hvor [tex]x_1[/tex] er x-verdien til skjæringspunktet mellom [tex]f(x)[/tex] og linja [tex]y[/tex].

b) Bruk samme integral fra a) og sett det lik 1, dvs. [tex]\int_0^{k}{(2- f(x))dx} = 1[/tex] da får du en vanlig likning som du kan løse mhp. [tex]k[/tex].

c) Formel for volumet til et omdreiningslegeme: [tex]V = \pi \int_a^b{(g(x))^2 dx}[/tex] ,hvor [tex]g(x) = k - f(x)[/tex] og grensene er 0 og [tex]2[/tex]

[tex]V = \pi \int_0^{2}{(e^2-f(x))^2 dx}[/tex]

Overlater algebraen til deg, håper du fikk ett lite dytt i riktig retning.

Edit: rettet feil påpekt av fysikkmann97

hco96 skrev:a) Betrakter [tex]y=k[/tex] som en annen funksjon og finner arealet avgrenset av f og linja y.
Dvs. [tex]k=2 \Rightarrow \int_0^{x_1}{(2- f(x))dx}[/tex], hvor [tex]x_1[/tex] er x-verdien til skjæringspunktet mellom [tex]f(x)[/tex] og linja [tex]y[/tex].

b) Bruk samme integral fra a) og sett det lik 1, dvs. [tex]\int_0^{k}{(2- f(x))dx} = 1[/tex] da får du en vanlig likning som du kan løse mhp. [tex]k[/tex].

c) Formel for volumet til et omdreiningslegeme: [tex]V = \pi \int_a^b{(g(x))^2 dx}[/tex] ,hvor [tex]g(x) = 2 - f(x)[/tex] og grensene er 0 og [tex]e^2[/tex]

[tex]V = \pi \int_0^{e^2}{(2-f(x))^2 dx}[/tex]

Overlater algebraen til deg, håper du fikk ett lite dytt i riktig retning.

Forstår ikke oppg. c), hvordan løser jeg [tex]e^{2e^{2}}[/tex] eller gjør jeg feil?

Du skal integrere fra 0 til f(x) = e^2. Siden funksjonen din er e^x så skal du integrere fra 0 til 2.
Integralet blir da
$\pi \int_0^2(e^2 - e^x)^2dx$

Såklart, beklager feil.