kholmen skrev:Hei!
Kunne trengt litt hjelp til å løse denne. Tenker at jeg skal bruke denne regelen:
[tex]{\left ( \frac{u}{v} \right )}'=\frac{{u}'*v-u*{v}'}{v^2}[/tex]
Her er oppgaven:
[tex]f(x)=\frac{lnx-x}{lnx+x}[/tex]
Det er riktig tenkt. La $u = \ln x - x$ og $v = \ln x + x$. Da er $u' = \frac{1}{x} - 1$ og $v' = \frac{1}{x} + 1$, så
$\displaystyle\begin{align*}f'(x) & = \frac{\left(\frac{1}{x} - 1\right)\left(\ln x + x\right) - \left(\ln x - x\right)\left(\frac{1}{x} + 1\right)}{\left(\ln x + x\right)^2} \\
& = \frac{\left(1-x\right)\left(\ln x + x\right) - \left(\ln x - x\right)\left(1 + x\right)}{x\left(\ln x + x\right)^2} \\
& = \frac{\ln x + x - x\ln x - x^2 -\ln x - x\ln x + x + x^2}{x\left(\ln x + x\right)^2} \\
& = \frac{2x - 2x\ln x}{x\left(\ln x + x\right)^2} \\
& = \frac{2x\left(1 - \ln x\right)}{x\left(\ln x + x\right)^2} \\
& = \frac{2\left(1 - \ln x\right)}{\left(\ln x + x\right)^2}.\end{align*}$
Du kan riktignok løse denne oppgaven litt enklere ved å anvende et lite knep: Skriv $f(x)$ som
$$f(x) = \frac{ln x - x}{\ln x + x} = \frac{\left(\ln x + x\right) - 2x}{\ln x + x} = 1 - \frac{2x}{\ln x + x}.$$
Det blir nå en smule mer overkommelig å anvende brøkregelen, så vi får at
$$f'(x) = -\frac{2\left(\ln x + x\right) - 2x\left(\frac{1}{x} + 1\right)}{\left(\ln x + x\right)^2} = -\frac{2\ln x + 2x - 2 - 2x}{\left( \ln x + x\right)^2} = \frac{2\left(1 - \ln x\right)}{\left(\ln x + x\right)^2}.$$
