Heisann. Jeg jobber for øyeblikket med R2-oppgaver, og sliter litt med forståelsen rundt bestemt integrasjon, og lurer på to konkrete ting:
1. Jeg skal finne/løse integralet for et område som avgrenses av x-aksen, en gitt graf, f.eks. f(x) og to x-verdier - men grafen for f(x) ligger under x-aksen i det gitte intervallet. Da vil integralet bli negativt - men jeg blir forvirret av at oppgavene veksler mellom positivt og negativt fortegn for verdien man finner. Er det slik at selve integralet for området har en negativ verdi, men når man oppgir arealet for området er det snakk om absoluttverdien, altså at den jo må ha positivt fortegn? Sliter litt med å skjønne dette med sum av areal når en del er under x-aksen og en del er over x-aksen, da i noen tilfeller utligner de hverandre og vi får 0 - men hvordan vet man når man skal trekke fra det "negative" arealet, og når man skal plusse det på?
2. Jeg har følgende oppgave: Funksjonen f er gitt ved f(x) = x^2 + mx + n. Tangentene i punktene P(2,f(2)) og Q(6,f(6)) skjærer hverandre i et punkt R.
a) Finn første koordinaten til R.
Linjen x = 4 deler området mellom grafen til f og tangentene i to deler.
b) Bruk CAS til å vise at de to områdene har like stort areal for alle verdier av m og n.
Fasiten sier:
a) Vi legger inn funksjonen f(x) = x^2 + mx + n i CAS-delen av GeoGebra. Så definerer vi de to
tangentene k og l for henholdsvis x = 2 og x = 6. Vi finner dermed førstekoordinaten til skjæringspunktet R mellom tangentene ved å løse likningen k(x) = l(x). Likningen har løsningen
x = 4. Førstekoordinaten til R er altså 4.
b) Siden koeffisienten foran leddet x^2 er positiv, krummer grafen til f oppover, uansett hvilke verdier vi velger for m og n. Både tangentene og skjæringspunktet R ligger derfor under grafen. Vi finner dermed arealet av områdene avgrenset av grafen til f og de to tangentene ved hjelp av kommandoene IntegralMellom[f,k,2,4] og IntegralMellom[f,l,4,6]. Skjermbilde fra GeoGebra viser at begge arealene er 8 / 3. Områdene har altså like stort areal for alle verdier av m og n.
Er det noen som kan forklare denne løsningen litt nærmere? Tangentene ble definert ved å bruke kommandoen Tangent [punkt, funksjon] - men de har ført inn verdiene Tangent [2, f] og [6, f]. Hvordan er det nok å oppgi kun x-verdien for punktet? Jeg tenker at et punkt på en graf kan vel kun ha én tilsvarende funksjonsverdi, men hvordan "vet" da CAS at det er x-verdien man oppgir og ikke funksjonsverdi? Forstår ikke helt hvordan man kan visualisere grafen når m og n-verdiene ikke er oppgitt, så skjønner ikke helt hvordan man skulle klart å se for seg oppsettet av grafen og tangentene ut fra oppgaven. Ser forsåvidt logikken i selve oppgaven tror jeg, men hadde nok ikke klart å tenke meg frem til denne på eksamen.
Håper noen kan hjelpe, til tross for litt vel lang tekst.
Ha en fin kveld!
Bestemt Integrasjon / areal
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
1) Ja det stemmer, det er integralet fra [tex]a[/tex] til [tex]b[/tex], hvor grafen er under aksen i det aktuelle området som er negativt, ikke selve arealet. Derfor må vi tilføye absoluttverdien til svaret hvis vi er ute etter å vite arealet.
Dersom vi skal ha det totale arealet avgrenset av x-aksen og en funksjon, og dette ligger delvis over/under x-aksen, må vi dele det inn i to: f.eks. [tex]A_1[/tex] og [tex]A_2[/tex].
Da kan vi si [tex]A_1 = \int_a^b{f(x) dx}[/tex] og [tex]A_2 = - \int_b^c{f(x) dx}[/tex] (jeg legger på minusen fordi her later vi som at området fra b til c er under aksen)
f.eks dersom [tex]A_1 = 5[/tex] og [tex]A_2 = 3[/tex] får vi at det totale arealet avgrenset av x-aksen og [tex]f[/tex] er [tex]A = A_1 + A_2 = 5 + 3 = 8[/tex].
Det betyr at dersom vi tok [tex]\int_a^c{f(x) dx}[/tex] får vi altså arealet over aksen pluss arealet under, men integralet under aksen var negativt, da vil det automatisk bli trekt i fra.
Så da blir det (med dette eksempelet) [tex]\int_a^c{f(x) dx} = 5 - 3 = 2[/tex].
2) Det er nok å oppgi kun x-verdien fordi alle y verdier er definert ved [tex]y = f(x) = x^2 + mx + n[/tex]. Setter man inn f.eks. [tex]x=1[/tex] får man det generelle punktet [tex](1, 1 + m + n)[/tex]
Poenget er at dette vil gjelde for alle tenkelige verdier vi velger for [tex]x, m[/tex] og [tex]n[/tex].
Når det gjelder å se for seg hvordan dette ser ut grafisk, ville det enkleste være å velge at konstantene er null.
Dersom vi skal ha det totale arealet avgrenset av x-aksen og en funksjon, og dette ligger delvis over/under x-aksen, må vi dele det inn i to: f.eks. [tex]A_1[/tex] og [tex]A_2[/tex].
Da kan vi si [tex]A_1 = \int_a^b{f(x) dx}[/tex] og [tex]A_2 = - \int_b^c{f(x) dx}[/tex] (jeg legger på minusen fordi her later vi som at området fra b til c er under aksen)
f.eks dersom [tex]A_1 = 5[/tex] og [tex]A_2 = 3[/tex] får vi at det totale arealet avgrenset av x-aksen og [tex]f[/tex] er [tex]A = A_1 + A_2 = 5 + 3 = 8[/tex].
Det betyr at dersom vi tok [tex]\int_a^c{f(x) dx}[/tex] får vi altså arealet over aksen pluss arealet under, men integralet under aksen var negativt, da vil det automatisk bli trekt i fra.
Så da blir det (med dette eksempelet) [tex]\int_a^c{f(x) dx} = 5 - 3 = 2[/tex].
2) Det er nok å oppgi kun x-verdien fordi alle y verdier er definert ved [tex]y = f(x) = x^2 + mx + n[/tex]. Setter man inn f.eks. [tex]x=1[/tex] får man det generelle punktet [tex](1, 1 + m + n)[/tex]
Poenget er at dette vil gjelde for alle tenkelige verdier vi velger for [tex]x, m[/tex] og [tex]n[/tex].
Når det gjelder å se for seg hvordan dette ser ut grafisk, ville det enkleste være å velge at konstantene er null.
[tex]\oint_C{f(z)dz} = 0[/tex]
Setter stor pris på det.