nullpunkt og bunn og topp punkt ved cosinusfunksjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
skikongen

Hvorfor er det slik at det skal være + n*2 π på cos mens i sin skal det være + n*π.
Er det en regel for dette. Noe med derivasjon? takk for svar

f(x)=0 --> 3cos(2x) = 0 --> 2x = +-π/2 + n* 2 π

f'(x)=0 --> -6sin(2x) = 0 --> 2x = 0 + π * n
Gjest

Jeg anbefaler deg sterkt å tegne enhetssirkelen og løse oppgavene grafisk. Dette gir en enormt god forståelse av slike problem du absolutt burde ha med deg.

Både sin og cos er 2pi-periodiske. Dette betyr at verdien av x gjentas etter en periode på 2pi. Tangens er pi-periodisk.
Fra enhetssirkelen ser du også at to ulike vinkler gir samme verdi (y-verdi eller x-verdi) for sin(x) og cos(x). For cos(x) har du at cos(x) = cos(-x) (Dette kalles en jevn funksjon) og for sin(x) har du at -sin(x) = sin(x), dvs. sin(x) = sin(pi-x) (Dette kalles en odde funksjon).

Dette gir løsninger for cos(x)
$x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n = \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{13 \pi}{2}$
$x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n = \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}, \dfrac{11 \pi}{2}$
og for sin(x)
$x=0 + 2\pi n = 2 \pi, 4 \pi, 6 \pi ...$
$x=\pi-0 + 2\pi n = 3 \pi, 5 \pi, 7 \pi ...$

Men dette er jo en veldig slitsom måte å skrive ut disse på så vi slår sammen de to alternativene
for cos(x)
$x=\pm\dfrac{\pi}{2}+2\pi n = \dfrac{3\pi}{2}, \dfrac{5\pi}{2}, \dfrac{7\pi}{2}\dfrac{9\pi}{2}, \dfrac{11\pi}{2}, \dfrac{13\pi}{2}$
for sin(x)
$x= ? = 2 \pi, 3 \pi, 4 \pi, 5 \pi, 6 \pi, 7 \pi ...$

Så kommer spørsmålet hva formelen skal være for sin(x)? I dette tilfellet er det ganske tydelig, det må være
$x=\pi n$ og vips har vi grunnen til at det skal være $\pi n$

Merk at dette funker akkurat fordi vinkelen, x, er 0.
Svar