integral

[vilma]

int((2*t-2*sin(t))*2*sqrt(2-2*cos(t)), t=0..2*pi

Noen tips?

[DennisChristensen]

int((2*t-2*sin(t))*2*sqrt(2-2*cos(t)), t=0..2*pi

Noen tips?

Vi beviser først identiteten $1 - \cos t = 2\sin^2 \left(\frac{t}{2}\right)$:

Metode 1: Fra $\cos^2\left(\frac{t}{2}\right) + \sin^2\left(\frac{t}{2}\right) = 1$ og $\cos t = \cos\left(2\cdot\frac{t}{2}\right) = \cos^2\left(\frac{t}{2}\right) - \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$ får vi at $\cos t = \left[1 - \sin^2\left(\frac{t}{2}\right)\right] - \sin^2\left(\frac{t}{2}\right) = 1 - 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$, så $$1 - \cos t = 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).$$

Metode 2: Funksjonen $f(t) = 1 - \cos t - 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)$ er deriverbar, og $f'(t) = \sin t - 2\cdot\frac{1}{2}\cdot 2\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos\left(\frac{t}{2}\right) = \sin t - \sin\left(2\cdot\frac{t}{2}\right) = \sin t - \sin t = 0$, så $f$ er konstant. Ettersom $f(0) = 1 - 1 - 2\cdot 0 = 0$, må $f$ være $0$ for alle $t$, altså: $$1 - \cos t = 2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right).$$

Dermed får vi at $$\begin{align*} \int_{t=0}^{2\pi}\left(2t - 2\sin t\right)2\sqrt{2 - 2\cos t} dt & = 4\sqrt{2}\int_{t=0}^{2\pi}\left(t - \sin t\right)\sqrt{1 - \cos t} dt \\
& = 4\sqrt{2}\int_{t=0}^{2\pi}\left(t - \sin t\right)\sqrt{2\sin^2\left(\frac{t}{2}\right)} dt \\
& = 8\int_{t=0}^{2\pi}\left(t - \sin t\right)\sin\left(\frac{t}{2}\right) dt \\
& = 8\int_{t=0}^{2\pi}t\sin\left(\frac{t}{2}\right) dt - 8\int_{t=0}^{2\pi} \sin \left(t\right)\sin \left(\frac{t}{2}\right) dt.\end{align*}$$

Vi bruker så delvis integrasjon for å evaluere disse to leddene:

Første ledd: Vi lar $u = t$ og $v' = \sin\left(\frac{t}{2}\right)$ og får at $$\int_{t=0}^{2\pi} t\sin\left(\frac{t}{2}\right) dt = \left[-2t\cos\left(\frac{t}{2}\right)\right]_{t=0}^{2\pi} + 2\int_{t=0}^{2\pi}\cos\left(\frac{t}{2}\right) dt = (-2)\cdot 2\pi(-1) + 4\left[\sin\left(\frac{t}{2}\right)\right]_{t=0}^{2\pi} = 4\pi + 0 = 4\pi.$$

Annet ledd: Vi lar $u = \sin \left(\frac{t}{2}\right)$ og $v' = \sin t$ og får at $$I = \int_{t=0}^{2\pi}\sin\left(t\right)\sin\left(\frac{t}{2}\right) dt = \left[-\sin\left(\frac{t}{2}\right)\cos t\right]_{t=0}^{2\pi} + \frac{1}{2}\int_{t=0}^{2\pi}\cos\left(\frac{t}{2}\right)\cos t dt = \frac{1}{2}\int_{t=0}^{2\pi}\cos\left(\frac{t}{2}\right)\cos t dt.$$ Vi bruker nå delvis integrasjon igjen (med $u = \cos\left(\frac{t}{2}\right)$ og $v' = \cos t$) og får at $$I = \frac{1}{2}\int_{t=0}^{2\pi}\cos\left(\frac{t}{2}\right)\cos t dt = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{t}{2}\right)\sin t\right]_{t=0}^{2\pi} + \frac{1}{4}\int_{t=0}^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right)\sin t dt = \frac{1}{4}\int_{t=0}^{2\pi}\sin\left(\frac{t}{2}\right)\sin t dt = \frac{1}{4} I.$$ Dermed er annet ledd $= I = 0$ og vi får så at $$\int_{t=0}^{2\pi}\left(2t - 2\sin t\right)2\sqrt{2 - 2\cos t} dt = 8\cdot 4\pi = 32\pi.$$

[vilma]

Tusen takk!!