Derivasjon

[Belaa]

Deriver funksjonene:

f(x) = 4 sin 3x − 2 cos x

Noen som har tips til hvordan jeg kan løse denne?

[Fysikkmann97]

(sin (kx))' = k cos (kx)
(cos (kx))' = -k sin (kx)

[DennisChristensen]

Deriver funksjonene:

f(x) = 4 sin 3x − 2 cos x

Noen som har tips til hvordan jeg kan løse denne?

For å derivere det første leddet bruker vi kjerneregelen. La $k(x) = 3x$. Da sier kjerneregelen at $$\frac{d}{dx}\left(4\sin\left(3x\right)\right) = 4\frac{d}{dk}\left(\sin k\right)k'(x) = 4\cos\left( k(x)\right)\cdot 3 = 12\cos\left(3x\right).$$ Dermed får vi at $$f'(x) = 12\cos\left(3x\right) + 2\sin x.$$

[Belaa]

OK. Så hvordan løser vi det når det for eksempel blir: g(x)=tan^2*x

Hvordan gjør jeg det med tan^2 i forhold til parantesene?

[DennisChristensen]

OK. Så hvordan løser vi det når det for eksempel blir: g(x)=tan^2*x

Hvordan gjør jeg det med tan^2 i forhold til parantesene?

Regner med at du mener $\tan^2 x$ der du skrev tan^2*x. Husk at $\tan$ er en funksjon, ikke noe vi kan multiplisiere med. Vi tar "tangens av/til $x$" eller bare "tangens $x$", men vi "multipliserer" aldri med tangens. $\tan^2 x$ er bare en annen måte å skrive $(\tan x)^2$ på.

Vi deriverer $g$ ved å ta i bruk kjerneregelen. La $u(x) = \tan x$. Da er $g(x) = (u(x))^2$, så kjerneregelen gir oss: $$g'(x) = \frac{d}{du}\left(u^2\right)\cdot u'(x) = 2u\cdot u'(x).$$ For å komme videre må vi finne $u'(x)$. Dette gjør vi via brøkregelen: $$\frac{d}{dx} \tan x = \frac{d}{dx}\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos ^2 x} = 1 + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 1 + \tan^2 x.$$ Dermed får vi at $$g'(x) = 2u(x)u'(x) = 2\tan x\left(1 + \tan^2 x\right).$$

[Belaa]

Ok, Så hvis vi tar følgende: [tex]h(x)=3e^2x+ln(x^2+1)[/tex]
Så får jeg følgende:

[tex]h`(x)= \frac{d}{du}(u^2)*u`(x)= 2u*u`(x)[/tex]

Finne u`(x):

[tex]\frac{d}{dx}(3(e^2x))=3\frac{d}{dk}(e^2x)k`(x)= 3e^2x*3=9e^2x-ln(x^2+1)[/tex]

Føler det er noe galt...

Edit: Det er 3x^2x ikke 3x^2 x

[DennisChristensen]

Hvordan kjerneregelen skal anvendes vil avhenge av funksjonene gitt i den enkelte oppgave! Selv om vi i forrige oppgave fikk at $g(x) = u^2(x)$, vil ikke dette fortelle oss hvordan vi skal derivere $h$, som er en helt ny funksjon, uavhengig av den forrige oppgaven. Pass på å lese ordentlig grundig gjennom hvordan kjerneregelen hjelper oss å derivere funksjoner før du prøver deg på nye eksempler.


Jeg har inkludert et løsningsforslag for hvordan du deriverer $h$ hvis du vil kontrollere svaret du får:

[+] Skjult tekst

Vi deriverer $h$ ledd for ledd.

Første ledd: Vi lar $u(x) = 2x$. Da gir kjerneregelen at $$\frac{d}{dx} 3e^{2x} = 3\frac{d}{du}h(u)\cdot u'(x) = 3e^{u(x)}\cdot 2 = 6e^{2x}.$$

Annet ledd: Vi lar $u(x) = x^2 + 1$. Kjerneregelen gir at $$ \frac{d}{dx} \ln\left(x^2 + 1\right) = \frac{d}{du}\ln u \cdot u'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)} = \frac{2x}{x^2+1}.$$

Dermed får vi at $h'(x) = 6e^{2x} + \frac{2x}{x^2+1}.$