differensiallikning

[Gjest]

Hei, har fått en oppgave der jeg skal finne differensiallikninger, men likningene jeg har jobbet med hittil, er bare med en ukjent slik som y-2y=6,
Oppgaven er som følgende : y'-2y=8x der y er en funksjon av x

Jeg har gjort som følgende:
PS: har løst y-2y=6 på samma måte som den.

Sliter veldig hardt med dette, online math solvers hjelper helle ikke med all de kompliserte løsningsforslagene

[Gjest]

Beklager, så på eksemplene på: http://ndla.no/nb/node/119188?fag=98361
Ser ut som at jeg måtte bruke en annen formel

[Kay]

[tex]y'-2y=8x[/tex]

Finner integrerende faktor [tex]F(x)[/tex]

[tex]F(x)=\int-2dx = -2x[/tex]

[tex]y'e^{-2x}+2ye^{-2x}=8xe^{-2x}[/tex]

Bruker kjerneregelen slik at

[tex](ye^{-2x})'=8xe^{-2x}[/tex]

Da har vi at

[tex]\int(ye^{-2x})'dx=\int8xe^{-2x}dx[/tex]

slik at

[tex]ye^{-2x}=\int8xe^{-2x}dx[/tex]

Så beregner vi integralet

[tex]\int8xe^{-2x}=8\int xe^{-2x}[/tex]

Bruker delvis integrasjon, regner med at du kjenner til mellomregninga her så hopper over den og får at integralet gir [tex]-2e^{-2x}(2x+1)+C[/tex]

Da har vi at

[tex]ye^{-2x}=-2e^{-2x}(2x+1)+C\Leftrightarrow y=\frac{-2e^{-2x}(2x+1)+C}{e^{-2x}}=Ce^{2x}-2(2x+1)[/tex]

[DennisChristensen]

Hei, har fått en oppgave der jeg skal finne differensiallikninger, men likningene jeg har jobbet med hittil, er bare med en ukjent slik som y-2y=6,
Oppgaven er som følgende : y'-2y=8x der y er en funksjon av x

Jeg har gjort som følgende:
PS: har løst y-2y=6 på samma måte som den.

Sliter veldig hardt med dette, online math solvers hjelper helle ikke med all de kompliserte løsningsforslagene

Du kan ikke integrere $$\int\frac{1}{8x-2y} dy$$ på den måten du har gjort. Differensiallikningen er nemlig ikke separabel; du må heller bruke en integrerende faktor.

Løsningsforslag:

[+] Skjult tekst

$$y' - 2y = 8x$$ $$y'e^{-2x} - 2ye^{-2x} = 8xe^{-2x}$$ $$\frac{d}{dx}\left(ye^{-2x}\right) = 8xe^{-2x}$$ $$ye^{-2x} = 8\int xe^{-2x} dx$$ $$ ye^{-2x} = 8\left[-\frac12xe^{-2x}\right] + 8\int \frac12 e^{-2x} dx + C,\text{ }C \in \mathbb{R}$$ $$ye^{-2x} = -4xe^{-2x} - 2e^{2x} + C = -2e^{2x}\left(2x + 1\right) + C$$ $$y(x) = Ce^{2x} -2(2x + 1).$$